이원배치법 문제풀이(반복이 없는 경우)

먼저 이원배치법은 평균에 영향을 주는 “요인”이 2개일 때 사용하는 분산분석법인데, 이원배치법을 계산하는 방법은 이전에 다루었던 일원배치법이랑 비슷하다. 단지 이원배치법은 요인이 2개라서 두 번째 요인에 해당하는 값을 추가로 구해주면 된다. 그리고 이원배치법(반복이 없는 경우)의 분산분석표는 아래와 같다.

 

 

1. 어느 돼지를 사육하는 농가에서 4가지 종류의 “사료”와 3가지 종류의 “사육환경”에 따라서 새끼돼지의 체중이 어떻게 증가하는지를 조사한 결과 아래와 같이 나왔다고 한다. 그럼 사료와 사육환경에 따라서 새끼돼지의 체중 증가량에 차이가 있는지를 유의수준 5%에서 검정하시오.

일단 이원배치법(반복이 없는 경우)은 가설을 세울 때, 각 요인 별로 따로따로 세워야 하는데, 먼저 첫 번째 요인(사료)은 집단이 4개이므로 첫 번째 가설은 μ4까지 표현하고, 두 번째 요인(사육환경)은 집단이 3개이므로 두 번째 가설은 μ3까지 표현한다. 참고로 평균이 같다는 것은 곧 새끼돼지의 “체중 증가량”도 같다는 소리다. 그래서 귀무가설은 “체중 증가량에 차이가 없다”는 뜻이고, 대립가설은 “체중 증가량에 차이가 있다”는 뜻이다.

 

다음으로 이원배치법(반복이 없는 경우)은 검정통계량인 F값을 2개를 구해야 하는데, 제곱합을 계산할 때는 공식2를 사용한다고 했었다.(참고) 그래서 일단 각 표본의 합계를 구한 후, “수정항 → SST → SSA → SSB → SSE” 순으로 구하면 되는데, 먼저 수정항 CT=31827이 나오고 SST=135.12가 나온다. 다음으로 SSA=95.98이 나오고 SSB=13.155가 나온다. 마지막으로 SSE는 따로 계산하지 않아도 SST-SSA-SSB를 하면 되기에 SSE=25.985가 나온다.

 

그리고 자유도에서 a는 첫 번째 요인의 집단 수를 나타내고, b는 두 번째 요인의 집단 수를 나타내므로, 요인자유도(A)는 3이고 요인자유도(B)는 2이며 총자유도는 11이다. 그리고 위의 제곱합과 마찬가지로, “총자유도-요인자유도(A)-요인자유도(B)”를 하면, 오차자유도는 6이 나온다. 또 평균제곱은 “제곱합/자유도”로 구하면 되는데, “요인제곱합(A)/요인자유도(A)”를 하면 MSA=31.9933이 나오고, “요인제곱합(B)/요인자유도(B)”를 하면 MSB=6.5775가 나오며, “오차제곱합/오차자유도”를 하면 MSE=4.3308이 나온다. 그래서 첫 번째 요인의 F값은 “MSA/MSE”를 해보면 7.39가 나오고, 두 번째 요인의 F값은 “MSB/MSE”를 해보면 1.52가 나온다.

 

그런데 F값이 2개이므로 기각역도 2개를 구해야 하는데, 먼저 첫 번째 요인의 기각역을 구해보면, 유의수준 α=0.05이고 자유도는 (3, 6)이므로,(각각 “요인자유도(A)”와 “오차자유도”이다) 해당하는 값을 F분포표(표)에서 찾으면 첫 번째 요인의 기각역은 4.76이 나온다. 그럼 첫 번째 요인의 검정통계량은 “기각역”안에 위치하므로, 첫 번째 가설에서는 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그래서 첫 번째 요인의 집단 중 적어도 하나의 평균은 다르므로 “사료”의 종류에 따라서 새끼돼지의 체중 증가량에는 차이가 있다는 것을 알 수 있다.

 

또 두 번째 요인의 기각역을 구해보면, 유의수준 α=0.05이고 자유도는 (2, 6)이므로,(각각 “요인자유도(B)”와 “오차자유도”이다) 해당하는 값을 F분포표에서 찾으면 두 번째 요인의 기각역은 5.14가 나온다. 그럼 두 번째 요인의 검정통계량은 “채택역”안에 위치하므로, 두 번째 가설에서는 귀무가설이 채택된다. 그래서 두 번째 요인의 집단들은 평균이 모두 같으므로 “사육환경”의 종류에 따라서 새끼돼지의 체중 증가량에는 차이가 없다는 것을 알 수 있다.