일원배치법 문제풀이(반복이 같은 경우)

이전 글에서 일원배치법이란 “평균에 영향을 주는 요인이 1개일 때 사용하는 분산분석법”이라고 했었는데, 일원배치법은 크게 “반복이 같은 경우”와 “반복이 다른 경우”로 나뉜다. 그리고 반복이란 “각 집단의 표본 수”를 나타내는 말인데, 이번에는 반복이 같은 경우에 대해서 알아보자. 참고로 분산분석은 계산할 것이 많기 때문에, 분산분석표를 기준으로 삼아서 계산하는데, 반복이 같은 경우의 분산분석표는 아래와 같다. 

 

 

1. 어느 농가에서 비료의 종류에 따라서 농작물의 수확량에 차이가 있는지를 알아보려고 한다. 그래서 총 4개의 비료를 대상으로 수확량을 조사하였더니, 결과는 아래와 같이 나왔다. 그럼 비료의 종류에 따라서 농작물의 수확량에 차이가 있는지를 유의수준 5%에서 검정하시오.

분산분석은 “평균이 서로 같은지를 비교하는 분석”이므로, 귀무가설은 “네 집단의 평균이 모두 같다”로 설정하고,(집단이 4개이므로, 가설에서 μ4까지 표현해줘야 한다) 대립가설은 “적어도 하나의 평균은 다르다”로 설정하면 된다. 참고로 평균이 같다는 것은 곧 수확량도 같다는 소리다. 그래서 귀무가설은 “수확량에 차이가 없다”는 뜻이고, 대립가설은 “수확량에 차이가 있다”는 뜻이다.

 

다음으로 검정통계량인 F값을 구해야 하는데, 제곱합을 계산할 때는 공식2를 사용한다고 했었다.(참고) 그래서 일단 각 표본의 합계를 구한 후, “수정항 → SST → SSA → SSE” 순으로 구하면 되는데, 먼저 수정항 CT=99828.45가 나온다. 그다음 SST=472.55가 나오고 SSA=159.75가 나온다. 마지막으로 SSE는 따로 계산하지 않아도 SST-SSA를 하면 되기에 SSE=312.8이 나온다.

 

그리고 자유도에서 a는 집단의 개수를 나타내고 r은 각 집단의 표본 수를 나타내므로, 요인자유도는 3이고 총자유도는 19이다. 그리고 위의 제곱합과 마찬가지로 “총자유도-요인자유도”를 하면, 오차자유도는 16이 나온다. 또 평균제곱은 “제곱합/자유도”로 구하면 되는데, “요인제곱합/요인자유도”를 하면 MSA=53.25가 나오고 “오차제곱합/오차자유도”를 하면 MSE=19.55가 나온다. 마지막으로 검정통계량인 F값은 “MSA/MSE”를 해보면 2.72가 나온다.

 

그다음 기각역을 구해보면, 유의수준 α=0.05이고 자유도는 (3, 16)이므로,(각각 “요인자유도”와 “오차자유도”이다) 해당하는 값을 F분포표(표)에서 찾으면 기각역은 3.24가 나온다. 그럼 검정통계량이 “채택역”안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그래서 네 집단의 평균은 모두 같으므로 비료의 종류에 따라서 농작물의 수확량에는 차이가 없다는 것을 알 수 있다.