상관계수의 가설검정 문제풀이

상관계수를 검정하기 위해서는 먼저 표본상관계수를 알아야 하는데, 표본상관계수를 직접 계산하는 것은 매우 귀찮은 일이다. 그래서 문제에서 표본상관계수 계산하는 법은 생략하려고 한다. 단, 데이터만 주어져서 직접 상관계수를 구해야 하는 경우도 있는데, 상관계수 구하는 법은 여기를 (참고)하면 된다. 그럼 몇 가지 문제를 풀어보자. 

 

 

1. 어느 회사의 마케팅 부서에서 “광고횟수”와 제품의 “판매량”이 서로 상관관계가 있는지를 알아보려고 한다. 이에 과거의 데이터를 분석해서 총 10개의 표본을 뽑았더니, 상관계수는 0.85가 나왔다. 그럼 “광고횟수”와 “판매량”은 서로 상관관계가 있다고 할 수 있는지 유의수준 10%에서 검정하시오.

상관계수가 0.85인데, 딱 봐도 수치가 크므로 굳이 가설검정을 하지 않아도 상관관계가 있다고 할 수 있다. 애초에 상관계수의 가설검정은 상관계수의 수치가 애매할 경우에만 사용해도 되는데, 그럼에도 가설검정을 해보면 일단 검정통계량은 4.56이 나온다.(상관계수가 크므로 검정통계량도 크게 나온다)

 

다음으로 기각역을 구해보면, 일단 유의수준 α=0.1인데 양측검정이므로 α/2=0.05이고 자유도는 10-2=8이다. 그래서 t분포표(표)에서 해당하는 값을 찾으면 1.86이 나오는데, 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±1.86이다. 그럼 검정통계량이 “기각역”안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그래서 “광고횟수”와 “판매량”은 서로 상관관계가 있다고 할 수 있다.(귀무가설: ρ=0, 상관계수가 0이라는 것은 서로 관계가 없다는 뜻이므로)

 

 

 

 

2. 어느 공장에서 작업자의 “결근횟수”와 “생산량”이 서로 상관관계가 있는지를 파악하는 중이다. 그래서 과거의 데이터를 분석해서 총 15개의 표본을 뽑았더니, 상관계수는 -0.45가 나왔다. 그럼 “결근횟수”와 “생산량”은 서로 상관관계가 있다고 할 수 있는지 유의수준 5%에서 검정하시오.

상관계수가 -0.45이므로 수치가 애매하다. 그래서 상관계수만으로 상관관계를 파악하기보다는, 추가로 가설검정을 통해서 상관관계를 파악하는 것이 더 좋아 보이는데, 일단 검정통계량을 구해보면 -1.82가 나온다.

 

다음으로 유의수준 α=0.05인데 양측검정이므로 α/2=0.025이고 자유도는 15-2=13이다. 그래서 t분포표에서 해당하는 값을 찾으면 2.16이 나오는데, 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±2.16이다. 그럼 검정통계량이 “채택역”안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그래서 “결근횟수”와 “생산량”은 서로 상관관계가 없다고 할 수 있다.

 

참고로 상관계수의 가설검정은 보통 양측검정만 하는데, 대립가설로 ≠만 사용하기 때문에 양측검정만 하는 것이다. 하지만 상관계수의 가설검정은 굳이 양측검정을 할 필요는 없다. 왜냐하면 다른 가설검정에서 ≠는 “방향을 모른다”는 뜻이므로, 양측검정을 하는 것이다. 그런데 상관계수의 가설검정에서 ≠는 “상관관계가 있다”는 뜻일 뿐, 방향이랑은 상관이 없다. 그래서 굳이 양측검정을 할 필요는 없다.(분산분석도 ≠에서 우측검정을 한다)

 

그리고 상관계수의 가설검정은 상관계수의 수치가 애매해서, 상관관계를 판단하기가 어려울 때 하는 것이다. 즉, 가설검정을 하기도 전에 이미 상관계수가 양(+)인지 아니면 음(-)인지를 알고 있다. 그래서 굳이 양측검정을 하지 않고, 그냥 상관계수가 양수이면 우측검정을 하고, 음수이면 좌측검정을 하는 것이 더 좋아 보인다. 어차피 가설검정은 양측검정보다는 단측검정이 더 검정력이 좋기 때문에, 단측검정의 결과가 더 믿을 만하다.(양측검정은 기각역이 양쪽으로 나뉘기 때문에, 검정력이 떨어진다) 하지만 그럼에도 상관계수는 일반적으로 양측검정만 하기에, 여기에서도 양측검정으로 다루었다.