회귀계수의 신뢰구간 문제풀이

먼저 이전 글에서 회귀계수의 신뢰구간은 크게 “y절편의 신뢰구간”과 “기울기의 신뢰구간”이 있다고 했었는데, 보통 기울기의 신뢰구간만 구한다고 했었다. 그런데 기울기의 신뢰구간은 이미 구해놓은 회귀식의 기울기를 구간추정하는 것이므로, 별개의 문제를 처음부터 다루는 것보다는, 이전에 “회귀분석 문제풀이”에서 다루었던 문제를, 그대로 다루는 것이 좋아 보인다.

 

 

1. 부모의 키와 자식의 키의 관계를 알아보기 위하여 무작위로 몇 명을 뽑아, 아버지의 키와 아들의 키를 조사하였더니 아래와 같이 나왔고, 해당 자료를 바탕으로 회귀식을 구하였더니 y(햇)=98.25+0.45x가 나왔다. 이때 회귀식의 기울기에 대한 90%의 신뢰구간을 추정하시오.

아버지의 키(x):        160        165        170        175        180        185        190

   아들의 키(y):        172        174        168        181        177        183        184

회귀계수의 신뢰구간은 공식이 복잡해보이기는 하지만, 예전에 “예측구간”을 구했을 때 사용했던 값들이 그대로 들어가기 때문에, 예측구간을 구한 후라면 쉽게 계산할 수 있다.(참고) 어쨌든 공식에 들어가는 값을 일단 표로 나타내면 아래와 같다.

 

그럼 신뢰구간을 구할 수 있는데, 먼저 표본의 기울기 b1=0.45이다. 그리고 90%의 신뢰구간이므로 α/2=0.05이고 자유도는 7-2=5이다. 그래서 해당하는 값을 t분포표(표)에서 찾으면, tα/2=±2.015가 나오므로, 해당 회귀식의 기울기는 0.1564에서 0.7436 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

2. 소득에 따른 신용카드 사용량을 알아보기 위하여 무작위로 몇 명을 뽑아, 월 소득 대비 신용카드 사용량을 조사하였더니 아래와 같이 나왔고, 해당 자료를 바탕으로 회귀식을 구하였더니 y(햇)=-25.1+0.417x가 나왔다. 이때 회귀식의 기울기에 대한 95%의 신뢰구간을 추정하시오.(단위는 만원)

월 소득(x):              100        200        300        400        500

카드 사용량(y):          30          57          76         140        197

신뢰구간은 공식을 한 번에 계산하기가 힘들다. 그래서 위의 문제와 마찬가지로 먼저 공식에 들어가는 값을 표로 나타내면 아래와 같다.

 

그다음 표본의 기울기 b1=0.417이고, 95%의 신뢰구간이므로 α/2=0.025이며, 자유도는 5-2=3이다. 그래서 해당하는 값을 t분포표에서 찾으면 tα/2=±3.182가 나오므로, 해당 회귀식의 기울기는 0.2385에서 0.5955 사이라고 추정할 수 있다.