카이제곱분포표 보는 법

카이제곱분포는 t분포와 마찬가지로 확률을 구할 때 사용하는 분포가 아니라, 나중에 신뢰구간이랑 가설검정에서 사용하는 분포다. 그래서 카이제곱분포표는 “t분포표 보는 법”과 얼추 비슷한데, 표를 활용해서 그래프의 x축 좌표인 χ²값을 구하기 때문에, 아래에 있는 카이제곱분포표는 χ²값을 중심으로 표가 구성되어있다.

일단 카이제곱분포표의 기본 골격은 t분포표와 같은데, y축은 자유도(n-1)를 다루고 있고, x축은 확률을 다루고 있다. 그리고 해당 확률은 신뢰구간이랑 가설검정에서 사용하는 α(알파)인데, 보통 카이제곱분포 그래프의 오른쪽 면적에 해당한다.

그런데 카이제곱분포와 t분포가 서로 다른 점이 있는데, 그것은 그래프의 왼쪽 x축 좌표를 구하는 방법이다. 그래서 일단 t분포는 그래프가 좌우대칭이기 때문에, -값만 붙이면 왼쪽 t값을 구할 수 있었다. 하지만 카이제곱분포의 그래프는 좌우대칭이 아니기 때문에, t분포의 방식으로는 왼쪽 χ²값을 구할 수 없다. 또 카이제곱분포표는 그래프의 오른쪽 면적만 다룰 뿐, 왼쪽 면적은 다루지도 않는다. 그래서 그래프의 총면적이 1이라는 특성을 활용하는데, 먼저 왼쪽 χ²값을 구하는 것이므로 그래프의 왼쪽 면적을 α라고 하면, 총면적이 1이기 때문에 오른쪽 면적은 1-α가 된다. 그래서 왼쪽 χ²값을 구할 때는 1-α를 하면 된다.

그런데 이 부분이 조금 헷갈릴 수 있다. 왜냐하면 표에는 α만 나와 있기 때문인데, 이것은 그냥 표를 단순화하기 위해서 그런 것일 뿐, 실상은 조금 다르다. 그래서 단순하게 왼쪽에 있는 확률은 1-α이고, 오른쪽에 있는 확률은 α라고 생각하면 된다.

그리고 신뢰구간 추정이랑 가설검정을 할 때, 한 번에 양쪽 χ²값을 모두 구하는 경우도 있는데, 이런 경우에는 α가 그래프의 양쪽으로 나뉘기 때문에, ÷2를 해서 α/2를 해줘야 한다. 그런데 왼쪽 χ²값은 1-α로 구하므로 1-α/2를 해준다. 그럼 몇 가지 문제를 통해서 χ²값 구하는 법을 알아보자.

 

   

1. 표본이 7개이고 α=0.1이라고 한다. 이에 해당하는 χ²값을 구하시오.

표본이 7개이므로 자유도는 7-1=6이다. 그리고 α=0.1이므로, 표에서 해당하는 값을 찾으면 χ²값은 10.64가 나온다.

 

 

 

2. 자유도가 9이고 α=0.05라고 한다. 이에 해당하는 왼쪽 χ²값을 구하시오.

왼쪽 χ²값은 1-α를 해줘야 한다. 그래서 1-α=0.95이고 자유도는 9이므로, 그래프의 왼쪽 χ²값은 3.33이 나온다.

 

 

 

3. 자유도가 7이고 α=0.1이라고 한다. 이에 해당하는 양쪽 χ²값을 구하시오.

양쪽 χ²값을 구할 때, 오른쪽과 왼쪽의 확률 계산이 서로 다르다. 그래서 먼저 오른쪽의 확률은 α/2=0.05이고, 왼쪽의 확률은 1-α/2=0.95이다. 그다음 자유도는 7이므로 각각의 χ²값은 2.17과 14.07이 나온다.