소인수분해로 약수의 개수 구하는 문제풀이

이전 글에서 숫자가 클 경우에는 약수의 개수를 구하기가 힘든데, 이때 소인수분해를 활용하면 약수의 개수를 구하기가 쉬워진다고 했었다. 그래서 일단 소인수분해를 한 다음, 거듭제곱 숫자에 +1을 하면 약수의 개수가 된다. 그리고 거듭제곱이 2개 이상인 경우에는, 각각의 거듭제곱에 +1을 한 다음, 서로 곱해주면 된다.

 

 

1. 숫자 1500의 약수는 몇 개인지? 소인수분해를 활용해서 구하시오.

숫자가 크기는 하지만 소인수분해를 활용하면 되는데, 일단 1500을 소인수분해하면 2²×3×5³이 된다. 그리고 각각의 거듭제곱에 +1을 한 다음, 서로 곱해주면 (2+1)×(1+1)×(3+1)=24가 나온다. 그래서 숫자 1500의 약수는 24개라는 것을 알 수 있다.

 

 

 

 

2. 다음 중 약수의 개수가 다른 하나를 구하시오.

거듭제곱을 파악해서 약수의 개수를 구해보면 아래와 같은데, 3)번은 약수가 24개이다. 그래서 3)번만 약수의 개수가 다르다.

 

 

 

 

3. 56×3^a의 약수가 32개일 때, a의 값을 구하시오.

먼저 56×3^a을 소인수분해하면 2³×3^a×7이 된다. 그럼 약수의 개수가 32개이므로, (3+1)×(a+1)×(1+1)=32라는 것을 알 수 있다. 그래서 a=3이다.