소인수분해로 약수 구하는 법

이전 글에서는 소인수분해를 활용해서 약수의 개수 구하는 법을 알아보았는데, 이번에는 그냥 약수 구하는 법을 알아보자. 일단 약수는 나누었을 때, 나머지가 0이 되는 수를 말하는데, 예를 들어 숫자 8이 있다고 해보자. 그럼 8은 1로 나누었을 때 나머지가 0이고, 2로 나누었을 때 나머지가 0이고, 4로 나누었을 때 나머지가 0이고, 8로 나누었을 때 나머지가 0이기에, 숫자 8의 약수는 1, 2, 4, 8이라는 것을 알 수 있다.

그런데 숫자 8은 크기가 작아서 약수를 쉽게 구할 수 있지만, 숫자가 큰 경우에는 약수를 구하기가 힘들다. 예를 들어 숫자 512의 약수를 모두 구한다고 한다면? 아마도 나누기를 많이 해야 하므로, 약수를 구하기가 힘들 것이다. 하지만 이때 소인수분해를 활용하면 약수를 쉽게 구할 수 있는데, 예를 들어 숫자 8을 소인수분해하면 2³이 나온다. 그럼 거듭제곱을 보면 한 가지 규칙을 발견할 수가 있는데, 바로 약수가 소수의 거듭제곱 형태로 이루어져 있다는 점이다.

 

그래서 소수의 거듭제곱을 활용하면 약수를 쉽게 구할 수가 있는데, 먼저 512를 소인수분해하면 2⁹이 나온다. 그래서 숫자 512의 약수를 구해보면 아래와 같이 나온다. 이렇게 숫자가 크더라도, 소인수분해를 활용하면 약수를 보다 쉽게 구할 수 있다.

 

그런데 소수가 2개인 경우도 있다. 예를 들어 숫자 72를 소인수분해하면 2³×3²으로, 소수가 2와 3 이렇게 2개이다. 하지만 이러한 경우에도 약수가 소수의 거듭제곱 형태로 이루어져 있다는 점은 동일하다. 단지 2×3인 형태가 추가될 뿐이다.

 

그리고 소수가 2개인 경우에는 보통 표를 사용해서 구한다. 왜냐하면 약수를 구할 때 보통 한두 개 빠뜨리는 실수를 많이 하는데, 이렇게 표로 나타내면 한두 개 빠뜨리는 실수를 피할 수 있다.

 

참고로 소수가 3개 이상이면, 소인수분해를 활용해도 약수를 쉽게 구할 수 없다. 예를 들어 숫자 900을 소인수분해하면 2²×3²×5²이 되는데, 소수가 3개이기에 2×3×5인 형태가 추가된다. 그런데 이외에도 2×3, 2×5, 3×5도 추가되기에, 약수 구하는 법이 많이 복잡해진다. 추가로 소수가 3개 이상이면, 표도 많이 복잡해져서, 표를 사용하기도 불편하다.(표를 만들 수는 있다) 그래서 소수가 3개 이상이면, 소인수분해를 활용해도 약수를 쉽게 구할 수 없다.(그냥 일일이 구하는 것이 더 편할 수도 있다)