소인수분해로 약수의 개수 구하는 법

일단 약수는 “나누었을 때 나머지가 0이 되는 수”를 말한다. 예를 들어 숫자 8은, 1로 나누었을 때 나머지가 0이고, 2로 나누었을 때 나머지가 0이고, 4로 나누었을 때 나머지가 0이고, 8로 나누었을 때 나머지가 0이기에, 숫자 8의 약수는 1, 2, 4, 8이다. 그래서 8의 약수는 4개라는 것을 알 수 있다. 이렇게 약수의 개수는 나누기를 활용해서 구하는데, 다만 숫자가 클 경우에는 약수의 개수를 구하기가 힘들어진다.

예를 들어 숫자 512의 약수는 몇 개일까? 아마도 구하기가 힘들 것이다. 왜냐하면 숫자 8의 경우에는 나누기를 몇 번만 하면 되지만, 숫자 512의 경우에는 나누기를 많이 해야 한다. 그래서 숫자가 클 경우에는 약수의 개수를 구하기가 힘든데, 다만 이때 소인수분해를 활용하면 약수의 개수를 구하기가 쉬워진다. 왜냐하면 수학에는 여러 규칙이 있는데, 소인수분해와 약수 간에도 규칙이 하나 있다. 그래서 거듭제곱 숫자에 +1을 하면 약수의 개수가 된다. 예를 들어 숫자 8을 소인수분해하면 2³이 나오는데, 거듭제곱인 3에 +1을 하면 약수의 개수가 된다. 그래서 숫자 8의 약수는 4개라는 것을 알 수 있다.

 

그러면 숫자 512의 약수의 개수도 쉽게 구할 수 있는데, 먼저 512를 소인수분해하면 2⁹이 나오므로, 거듭제곱 9에 +1을 해보면 10이 된다. 그래서 숫자 512의 약수는 10개라는 것을 알 수 있다. 이렇게 소인수분해를 활용하면, 숫자가 크더라도 약수의 개수를 구하기가 쉬워진다.

 

그런데 소인수분해를 해보면, 거듭제곱이 2개인 경우도 있다. 예를 들어 숫자 72를 소인수분해하면, 2³×3²으로 거듭제곱이 2개나 된다. 하지만 이러한 경우에도 구하는 법은 비슷한데, 그냥 각각의 거듭제곱에 +1을 한 다음, 서로 곱해주면 된다. 그래서 (3+1)×(2+1)=12가 나오므로, 숫자 72의 약수는 12개라는 것을 알 수 있다.

 

마찬가지로 거듭제곱이 3개 이상인 경우도 동일하다. 예를 들어 숫자 1800을 소인수분해하면, 2³×3²×5²으로 거듭제곱이 3개나 되는데, 그냥 각각의 거듭제곱에 +1을 한 다음, 서로 곱해주면 된다. 그래서 (3+1)×(2+1)×(2+1)=36이 나오므로, 숫자 1800의 약수는 36개라는 것을 알 수 있다.