최대공약수 문제풀이

이전 글에서 최대공약수 구하는 방법은 크게 2가지가 있는데, 하나는 “동시에 나눠주는 방법”이고, 또 다른 하나는 “소인수분해를 활용한 방법”이라고 했었다. 그리고 문제에서 최대공약수를 구할 때는 보통 “동시에 나눠주는 방법”이 더 편하기는 하지만, 이미 소인수분해가 되어있는 경우에는 “소인수분해를 활용한 방법”이 더 편하다.

 

 

1. 다음의 최대공약수를 구하시오.

① 100, 140                              ② 2³×3×5², 2²×3²×5×11

먼저 최대공약수를 구할 때는 “동시에 나눠주는 방법”이 더 편하다. 그래서 ①번 문제에서 100과 140을 동시에 나눠주면, 최대공약수는 2×2×5=20이 나온다. 그런데 ②번 문제는 이미 소인수분해가 되어 있으므로, “소인수분해를 활용한 방법”으로 구하는 것이 좋은데, 2³×3×5²과 2²×3²×5×11의 공통된 소수를 찾으면, 최대공약수는 2²×3×5=60이 나온다.

 

 

 

 

2. 자연수 1210과 1430의 공약수를 모두 구하시오.

일단 자연수 1210과 1430은 숫자가 크므로, 공약수를 일일이 구하기가 힘들다. 그런데 최대공약수의 약수가 곧 공약수이므로, 먼저 최대공약수를 구하면 쉽게 공약수를 구할 수 있다. 그래서 자연수 1210과 1430의 최대공약수를 구하면 2×5×11=110이 나오는데, 110의 약수는 (1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110)이다. 그래서 자연수 1210과 1430의 공약수는 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110이다.

 

 

 

 

3. 다음 2³×5²×7²과 2²×5³의 공약수가 아닌 것은?

① 1                                          ② 2×5³

③ 2×5                                      ④ 2²×5

⑤ 2²×5²

일단 2³×5²×7²과 2²×5³의 최대공약수를 구해보면 2²×5²이 나온다. 그리고 공약수는 최대공약수의 약수이므로, 최대공약수 2²×5²의 범위를 넘어간 수는 공약수가 아니다. 그런데 ②번이 2×5³으로 최대공약수의 범위를 넘어서므로, ②번이 공약수가 아니다.

 

 

 

 

4. 다음 2⁴×3²×5×7³과 2³×3⁴×5²의 공약수의 개수를 구하시오.

먼저 2⁴×3²×5×7³과 2³×3⁴×5²의 최대공약수를 구해보면 2³×3²×5가 나온다. 그런데 공약수는 최대공약수의 약수이므로, 2³×3²×5의 약수를 구해서 그 개수를 파악하면 된다. 그런데 2³×3²×5=360으로 그 숫자가 커서, 공약수의 개수를 일일이 파악하기가 힘들다. 하지만 소인수분해를 활용하면 약수의 개수를 쉽게 구할 수 있는데,(참고) 공약수의 개수는 (3+1)×(2+1)×(1+1)=24개가 나온다.