최대공약수와 최소공배수의 관계

일단 두 자연수 A와 B가 있을 때, A와 B의 최대공약수와 최소공배수를 구해보면, 여기에는 한 가지 특이한 관계가 발생하는데, 지금부터 최대공약수와 최소공배수의 관계에 대해서 알아보자. 그리고 편의상 최대공약수를 G라고 표기하고, 최소공배수를 L이라고 표기하는데, 이 기호들은 각각 영어 이름의 앞 글자에서 따온 것이다.

일단 두 자연수 A와 B 그리고 최대공약수 G와 최소공배수 L을 그림으로 표현하면 아래와 같은데, 해당 그림을 보면 몇 가지 규칙을 알 수 있다. 그래서 먼저 최소공배수 L=G×a×b라는 것을 알 수 있다.

 

그리고 자연수 A를 G로 나누면 a가 나오므로 A=G×a이고, 자연수 B를 G로 나누면 b가 나오므로 B=G×b라는 것도 알 수 있다. 그럼 여기서 두 자연수인 A와 B를 서로 곱해보면, A×B=G×a×G×b가 된다.

 

그리고 A×B=G×a×G×b의 순서를 바꿔보면, A×B=G×G×a×b라고 나타낼 수 있는데, 위에서 L=G×a×b라고 했으니, G×a×b에는 L을 대입할 수가 있다. 그래서 최종적으로 A×B=G×L이 되는 것을 알 수 있다.

 

그래서 두 자연수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수라는 관계가 생긴다.(두 자연수의 곱은, 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다) 한 가지 예를 들어 두 자연수 4와 6의 최대공약수와 최소공배수를 구해보면, 최대공약수는 2가 나오고 최소공배수는 12가 나오는 것을 알 수 있다. 그럼 두 자연수의 곱을 구해보면 4×6=24가 나오는데, 최대공약수와 최소공배수의 곱을 구해보아도 역시 2×12=24가 나오면서, 서로 같아진다는 것을 알 수 있다.