최소공배수 문제풀이

이전 글에서 최소공배수 구하는 방법은 크게 2가지가 있는데, 하나는 “동시에 나눠주는 방법”이고, 또 다른 하나는 “소인수분해를 활용한 방법”이라고 했었다. 그리고 자연수가 3개 이상이면, 동시에 나눠주는 방법이 조금 번거롭기에, 소인수분해를 활용한 방법이 더 편하다고도 했었다. 그럼 몇 가지 문제를 풀어보자.

 

 

1. 다음의 최소공배수를 구하시오.

① 12, 20                                  ② 150, 252, 280

먼저 ①번의 12와 20을 동시에 나눠주면, 최소공배수는 2×2×3×5=60이 나온다. 그리고 ②번은 자연수가 3개이므로 소인수분해를 활용하는 것이 좋은데, 먼저 150과 252와 280을 소인수분해하면, 각각 150=2×3×5²과 252=2²×3²×7과 280=2³×5×7이 나온다. 그래서 최소공배수는 2³×3²×5²×7=12600이 된다.

 

 

 

 

2. 어떤 두 자연수의 최소공배수가 6일 때, 이 두 자연수의 공배수가 아닌 것은?

① 30                                          ② 192

③ 210                                        ④ 2686

⑤ 1470

일단 두 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수와 같다. 그래서 굳이 두 자연수를 모르더라도, 그냥 최소공배수의 배수가 아닌 것을 찾으면 된다. 그런데 ④번이 최소공배수인 6으로 나누었을 때, 나눠서 떨어지지 않기에, 최소공배수의 배수가 아니다. 그래서 두 자연수의 공배수가 아닌 것은 ④번이다.

 

 

 

 

3. 두 자연수 2²×3²×5^b과 2²×3^a×7의 최소공배수는 2²×3³×5×7이라고 한다. 이때 a와 b를 구하시오.

먼저 최소공배수가 되려면, 두 자연수의 모든 거듭제곱과 소수를 포함해야 한다. 그런데 최소공배수를 보면, 먼저 3³이 충족되지 않았기에 a=3이다. 그리고 최소공배수의 5는 그냥 5=5¹이므로 b=1이다.

 

 

 

 

4. 세 자연수 30과 66과 a의 최소공배수가 3300일 때, 이 a 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수를 구하시오.

먼저 3300을 소인수분해하면 2²×3×5²×11이 나오는데, 세 자연수 30과 66과 a로, 이 2²×3×5²×11을 충족시켜주면 된다. 그래서 먼저 30과 66을 소인수분해하면, 각각 30=2×3×5와 66=2×3×11이 나오는데, 최소공배수 2²×3×5²×11을 충족시키기에는 아직 2²과 5²이 부족하다. 그래서 a가 이 값을 충족시켜주면 되기에, a=2²×5²이 된다. 그래서 a 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2²×5²=100이다.