최소공배수 구하는 법

먼저 서로 다른 두 자연수의 공통된 배수 중에서, 가장 작은 수를 최소공배수라고 부르는데, 최소공배수 구하는 방법은 크게 2가지가 있다. 그래서 하나는 “동시에 나눠주는 방법”이고, 또 다른 하나는 “소인수분해를 활용한 방법”인데, 이전 글에서 다루었던 최대공약수 구하는 법이랑 비슷하다. 그럼 최소공배수 구하는 법을 알아보자.

일단 최소공배수 역시 기본적으로 “동시에 나눠주는 방법”을 사용하는데, 최대공약수와는 달리 나머지의 서로소까지 곱해줘야 한다. 예를 들어 30과 42의 최소공배수를 구한다고 해보자. 그럼 30과 42는 서로 2와 3으로 나뉘기에, 먼저 2와 3으로 나눠준다. 그러면 나머지로 서로소 5와 7이 나오는데, 이 5와 7까지 곱해줘야 최소공배수가 된다.(보통 약수는 “공통된 수”로만 이루어져 있지만, 배수는 “공통되지 않은 수”도 포함되기에, 이렇게 공통되지 않은 서로소까지 곱해준다) 그래서 최소공배수는 2×3×5×7=210이 되는 것을 알 수 있다.

 

그런데 자연수가 3개면 상황이 조금 달라진다. 왜냐하면 최소공배수를 구하기 위해서는 3개의 나머지가 모두 서로소가 되어야 한다. 예를 들어 20과 24와 36의 최소공배수를 구하기 위해서 동시에 나눈다고 했을 때, 일단 2로 두 번 나눠주면, 나머지는 5와 6과 9가 나온다. 그럼 이제 서로 공약수가 없어서 더 이상 나눠줄 수 없지만, 아직 “3개의 나머지가 모두 서로소”가 되지는 않았다.(6과 9는 서로소가 아니다. 왜냐하면 3으로 나눠줄 수 있기 때문이다)

 

그래서 “3개의 나머지가 모두 서로소”가 될 때까지 계속 나눠줘야 하는데, 나눌 수 없는 수는 그냥 밑으로 내리면 된다. 그래서 3으로 한 번 더 나누면, 나머지가 5와 2와 3이 되면서, “3개의 나머지가 모두 서로소”가 된다.

 

이렇게 최소공배수를 구할 때는 “3개의 나머지가 모두 서로소”가 될 때까지 나눠줘야 하는데, 2개만이라도 나눠줄 수 있다면, 계속 나눠줘야 한다. 그래서 최소공배수는 2×2×3×5×2×3=360이 되는 것을 알 수 있다. 참고로 자연수가 3개 이상이면, “동시에 나눠주는 방법”이 조금 번거롭기에, “소인수분해를 활용한 방법”이 더 편할 수도 있다.

 

그래서 다음으로 “소인수분해를 활용한 방법”에 대해서 알아보기 위하여, 자연수 168과 180의 최소공배수를 구한다고 해보자. 그럼 168과 180을 각각 소인수분해 해보면, 168=2³×3×7이 나오고 180=2²×3²×5가 나오는데, 이중에서 거듭제곱이 큰 걸 선택하면 된다.(약수와 달리, 배수는 모두 포함되어야 하기에) 그리고 위의 “동시에 나눠주는 방법”에서, 서로 공통이 아닌 서로소까지 곱해준 것과 마찬가지로, 소인수분해에서도 서로 공통이 아닌 소수까지 곱해줘야 한다.(배수는 “공통되지 않은 수”도 포함되기에) 그래서 최소공배수는 2³×3²×5×7=2520이 되는 것을 알 수 있다.