정수의 곱셈하는 법

우리는 보통 무엇인가가 곱절(일정한 수가, 그 수만큼 증가했을 때)로 증가했을 때, “2배”가 되었다고 말한다. 그리고 상황에 따라 3배, 4배, 5배...가 되기도 하는데, 수학은 이러한 상황을 곱셈을 사용해서 표현한다. 그래서 곱셈의 수식을 잘 살펴보면, 무엇인가가 증가하고 있다는 것을 알 수 있는데, 몇 가지 예를 들면 아래와 같다.

그런데 곱셈을 할 때 한 가지 조심해야 할 것이 있는데, 바로 기호를 조심해야 한다. 뭐 그냥 단순한 곱셈이라면 그렇게 조심할 것도 없겠지만, 수학은 양수(+)와 음수(-)라는 개념이 있어서, 상황에 따라서 기호가 바뀐다. 그래서 이 부분을 조심해야 하는데, 보통 같은 기호끼리 곱하면 +가 되고, 다른 기호끼리 곱하면 -가 된다.

 

그럼 각 상황에 대해서 알아보자. 일단 “+×+=+”와 “-×+=-”는 쉽게 이해할 수 있는데, 그냥 각 상황을 말로 풀어보면 이해가 될 것이다.

 

그런데 “+×-=-”와 “-×-=+”는 위와 같이 말로 풀어서는 이해가 되지 않는다. 왜냐하면 우리는 보통 “-2배”라는 표현은 사용하지 않기 때문이다.

 

하지만 “+×-=-”는 교환법칙을 사용하면 처음과 같은 상황을 만들 수 있기에, 역시 이해하는 데 크게 어렵지 않다.(참고로 마지막에 있는 “-×-=+”는 설명하기가 복잡하므로, 다음 글에서 알아보자) 어쨌든 곱셈을 할 때, 같은 기호끼리 곱하면 +가 되고, 다른 기호끼리 곱하면 -가 된다.

 

그리고 곱셈을 할 때 숫자가 3개 이상인 경우도 있는데, 이러한 경우에는 기호도 3개 이상이 되어버린다. 그런데 여기에도 한 가지 규칙이 있어서 보다 편하게 계산할 수가 있는데, 일단 다음의 수식을 앞에서부터 차례대로 곱해보자.(편의상 양수의 +기호를 생략한다)

 

그러면 한 가지 규칙을 발견할 수가 있는데, 곱셈에서 -기호의 개수가 홀수이면 최종적으로 -가 되고, 반대로 -기호의 개수가 짝수이면 최종적으로 +가 된다. 이렇게 곱셈에서 -기호가 몇 개인지를 파악하면, 최종적으로 어떤 기호가 나올지를 미리 알 수 있는데, 그러면 계산하기가 편해진다. 왜냐하면 계산할 때 계속 기호를 바꾸다 보면, 실수로 틀리는 경우도 많기 때문이다.

 

그리고 이 홀수와 짝수의 개념은 그대로 거듭제곱에도 적용된다. 일단 거듭제곱도 양수(+)와 음수(-)라는 개념 때문에, 상황에 따라서 기호가 바뀐다. 뭐 양수의 거듭제곱은 항상 양수가 나오기에 별문제가 되지 않지만, 음수의 거듭제곱은 항상 기호가 바뀐다.

 

하지만 홀수와 짝수의 개념이 그대로 적용되기에, 쉽게 기호를 파악할 수 있다. 그래서 음수의 거듭제곱 개수가 홀수이면 최종적으로 -가 되고, 음수의 거듭제곱 개수가 짝수이면 최종적으로 +가 되는 것을 알 수 있다.

 

추가로 음수의 거듭제곱은 조심해야 한다. 왜냐하면 괄호가 있고 없고에 따라서, 무엇을 제곱할지가 다르기 때문이다. 예를 들어 -1²은 1을 제곱하는 것이지만, (-1)²은 -1을 제곱하는 것이다. 그래서 최종 기호가 달라지기에, 이 부분을 조심해야 한다.

 

그리고 덧셈과 마찬가지로 곱셈도 교환법칙과 결합법칙을 적용할 수가 있다. 그래서 해당 곱셈의 순서를 서로 바꾸거나, 뒷부분을 먼저 계산할 수도 있다.

 

그런데 이 두 법칙 말고도, 곱셈에는 적용할 수 있는 법칙이 하나 더 있는데, 바로 분배법칙이다. 그래서 이 분배법칙을 활용하면 공통된 숫자로 묶을 수가 있다.

 

그런데 이 분배법칙은 사용하기가 조금 귀찮기도 하다. 하지만 가끔 분배법칙을 활용하면 쉽게 계산할 수 있는 문제들이 있는데, 예를 들어 2×1.973+2×-0.973을 계산한다고 해보자. 그럼 얼핏 보면 계산이 복잡해 보이지만, 분배법칙을 활용하면 쉽게 풀 수가 있다. 그래서 먼저 공통된 숫자 2로 묶어버리면 2×(1.973-0.973)이 되는데, 뒤에 있는 (1.973-0.973)=1이기 때문에, 최종적으로 답이 2×1=2가 되는 것을 쉽게 계산할 수 있다.

 

추가로 이전 글에서는 유리수(정수, 소수, 분수)의 덧셈과 뺄셈에 대해서 알아보았다. 그리고 덧셈과 뺄셈을 할 때, 기호가 연달아 2개 있을 때는 1개로 줄여준다고 했었는데, 사실 이것은 곱셈을 활용한 것이다. 예를 들어 1+(+2)=1+2라고 했는데, 여기서 편의상 숫자 1을 생략해보자. 그러면 +(+2)=+2가 나오는데, 사실 이 수식은 +1×+2=+2처럼 곱하기를 사용해서 나타낼 수 있다. 이렇게 덧셈과 뺄셈에서 기호 2개를 1개로 줄이는 방법은, 바로 곱셈이 활용된 것이다. 그럼 다음 글에서는 음수 곱하기 음수가 양수인 이유에 대해서 알아보자.