이항분포 문제풀이

현실에서 여러 실험과 연구를 할 때, 이항분포를 활용해서 확률을 구하는 경우가 많다. 그래서 이항분포의 문제를 많이 풀어보는 것이 좋은데, 문제를 쉽게 풀기 위해서는 “성공확률과 실패확률” 그리고 “성공횟수와 실패횟수”를 잘 파악해야 한다.(참고로 계산기를 사용해서 이항계수 구하는 법은 맨 아래를 참고하면 된다)

 

 

1. 한 축구 선수가 페널티킥을 차면 5번 중 4번은 성공한다고 한다. 그럼 이 선수가 10번의 페널티킥을 차서 7번 성공할 확률을 구하시오.

이 선수는 페널티킥을 5번 중 4번은 성공하기에, 성공확률은 4/5=0.8이고 실패확률은 1-0.8=0.2이다. 그리고 10번 중 7번 성공할 경우이므로, 성공횟수는 7이고 실패횟수는 10-7=3이다. 그래서 공식에 대입해보면 확률은 0.2013 or 20.13%가 나온다.

 

 

 

2. 스마트폰의 한 부품을 만드는 회사가 있는데, 이 회사에서 만드는 부품의 불량률은 5%라고 한다. 그럼 부품 20개를 조사했을 때, 불량품이 2개 이하로 나올 확률을 구하시오.

불량품이 나올 확률이므로, 성공확률은 5%=0.05이고 실패확률은 1-0.05=0.95이다. 그런데 이 문제에서 한 가지 주의해야 할 것은, 불량품이 2개 나올 확률이 아니라, 2개 이하로 나올 확률이라는 점이다. 그리고 2개 이하는 “0개+1개+2개”가 나올 확률이므로, 3가지의 확률을 다 계산해서 모두 더해줘야 한다. 그래서 확률은 0.9246 or 92.46%가 나온다.

 

 

 

3. 어떤 희귀바이러스에 감염되었을 때, 회복할 수 있는 치료율은 20%라고 한다. 그럼 바이러스에 감염된 환자 15명을 치료했을 때, 적어도 2명 이상은 회복할 확률을 구하시오.

먼저 치료율이 20%이므로, 성공확률은 20%=0.2이고 실패확률은 1-0.2=0.8이다. 그런데 이 문제는 풀기가 너무 복잡하다. 왜냐하면 2명 이상이 나올 확률은 “2명+3명+4명+‥‥+15명”이 나올 확률이므로, 문제를 풀기에는 손이 너무 많이 간다. 그래서 이러한 경우에는 확률의 총합이 100%라는 특성을 활용하는데, “100%-(0명+1명)=(2명+3명+4명+‥‥+15명)”이므로, 100%에서 0명+1명이 나올 확률을 빼주면, 2명 이상이 나올 확률이 나온다. 그래서 확률은 0.8329 or 83.29%가 나온다.

참고로 이항분포는 공식의 앞부분인 이항계수 때문에 계산하기가 복잡한데, 계산기를 사용하면 이항계수를 빠르고 편하게 구할 수 있다. 그래서 카시오(CASIO) 계산기를 예로 들어보면, 계산기의 ÷버튼 위를 보면 nCr이라고 적혀있는데, 이것이 바로 이항계수를 계산하는 방법이다. 사용하는 방법은 왼쪽 맨 위에 있는 SHIFT를 한 번 눌러준 다음 ÷를 누르면 되는데, 위의 1번 문제의 이항계수는 “10 → SHIFT → ÷ → 7”이라고 입력하면 된다.