이항분포의 확률 구하는 법

이항분포는 이산확률분포에서 가장 많이 사용하는 분포로, 이전 글에서 알아보았던 베르누이분포의 업그레이드 버전이다. 먼저 베르누이분포가 “성공”과 “실패” 이렇게 2가지의 상황만 나오는 실험에서 사용한다고 했었는데,(참고) 이항분포도 마찬가지다. 그래서 베르누이분포와 똑같이 성공확률은 p이고, 실패확률은 1-p이다.

그런데 베르누이분포가 한 번씩 하는 실험의 확률만 구할 수 있다면, 이항분포는 여러 번에 걸쳐서 하는 실험의 확률도 구할 수 있다. 그래서 현실적으로 베르누이분포보다는 이항분포를 더 많이 사용한다. 왜냐하면 보통 실험을 할 때, 한 번의 실험 결과보다는 여러 번에 걸쳐서 하는 실험 결과에 더 관심이 많기 때문인데, 예를 들어 동전을 1번 던져서 앞면이 나올 확률보다는, 동전을 10번 던져서 앞면이 4번 나올 확률을 알아보기 위해서 실험을 한다. 어쨌든 이항분포는 여러 번에 걸쳐서 하는 실험의 확률을 구할 때 사용하므로, 베르누이분포와는 다르게 공식에 성공횟수와 실패횟수가 추가되어 있다.(이항분포는 여러 번에 걸쳐서 독립적으로 베르누이 시행을 한 실험이다)

 

그리고 공식의 앞부분은 이항계수라고 하는데, 이항분포가 여러 번에 걸쳐서 하는 실험이기 때문에 횟수와 관련이 있다. 그래서 일단 “n=총횟수”이고 “x=성공횟수”이며 “n-x=실패횟수”인데, 예를 들어 주사위를 10번 던졌을 때, 눈금 5가 3번 나올 확률을 구한다고 해보자. 그럼 총횟수인 n=10이고 성공횟수인 x=3이며 실패횟수인 n-x=10-3=7이 된다. 이항계수에 대입해보면 아래와 같다.(계산기를 사용하면, 중간과정 없이 바로 계산할 수 있다)

 

참고로 이산확률분포는 대부분 평균과 분산과 표준편차를 몰라도 확률을 구할 수 있기에, 굳이 평균과 분산과 표준편차를 구할 필요는 없다. 하지만 이산확률분포 중에서도 이항분포는 나중에 포아송근사와 정규근사를 할 때, 평균과 분산과 표준편차를 알아야 하는데, 각각 아래와 같다.