모평균의 신뢰구간 문제풀이(σ를 아는 경우)

먼저 모평균의 신뢰구간은 “모평균인 μ가 얼마일 것이다”라고 구간추정하는 것이다. 그리고 신뢰구간을 구할 때는 확률분포를 사용하는데, “σ를 아는 경우”에는 정규분포를 사용한다. 그런데 정규분포로 확률을 구하는 것이 아니라, 단지 그래프의 x축 좌표를 활용하기에, 신뢰구간을 구할 때는 그래프의 x축 좌표인 Z값 구하는 것에 신경 써야 한다.

 

 

1. 어느 여자고등학교에서 학생들의 평균키를 알아보려고 한다. 그래서 무작위로 학생 50명을 뽑아 키를 측정하였더니, 평균은 159.14cm가 나왔다. 그럼 모표준편차(σ)를 26cm라고 가정했을 때, 여학생의 평균키에 대한 90%의 신뢰구간을 구하시오.

90%의 신뢰구간에서 α=0.1이므로 α/2=0.05이다. 그런데 0.05는 정규분포 그래프의 오른쪽 면적에 해당하는데, 표준정규분포표는 왼쪽 면적만 다루기에, 1-0.05=0.95에 해당하는 Z값을 찾아야 한다. 그래서 표준정규분포표(표)에서 확률 0.95에 가장 가까운 Z값을 찾으면 1.64와 1.65가 나오는데, 두 Z값의 평균을 구해보면 1.645가 나온다.(Z값으로 그냥 1.64를 쓰기도 한다) 그래서 ±Zα/2=±1.645이므로, 공식에 대입해서 90%의 신뢰구간을 구해보면, 여학생의 평균키는 153.0914cm에서 165.1886cm 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

2. 어느 회사에서 생산하는 전자제품의 평균수명을 조사하기 위하여, 표본 100개를 뽑았더니 평균은 800일이 나왔다. 그리고 과거의 자료를 분석한 결과 모표준편차(σ)는 40일이라고 한다. 이때 전자제품의 평균수명에 대한 95%의 신뢰구간을 구하시오.

먼저 95%의 신뢰구간에서 α/2=0.025이므로, 1-0.025=0.975에 해당하는 Z값을 찾아야 하는데, 표준정규분포표에서 0.975에 가장 가까운 Z값은 1.96이다. 그래서 ±Zα/2=±1.96이므로, 95%의 신뢰구간을 구해보면, 전자제품의 평균수명은 792.16일에서 807.84일 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

3. 우리나라 대학생들의 월 평균용돈을 알아보기 위하여, 대학생 70명을 조사하였더니, 월 평균용돈은 13만 원이 나왔다. 그럼 모표준편차(σ)를 3만 원이라고 가정했을 때, 대학생의 월 평균용돈에 대한 99%의 신뢰구간을 구하시오.

99%의 신뢰구간에서 α/2=0.005이다. 그래서 1-0.005=0.995에 해당하는 Z값을 표준정규분포표에서 찾으면, 가장 가까운 Z값은 2.57과 2.58이 나오는데, 두 Z값의 평균을 구해보면 2.575가 나온다.(그냥 2.58을 쓰기도 한다) 그래서 ±Zα/2=±2.575이므로, 대학생의 월 평균용돈은 12.0767만 원에서 13.9233만 원 사이라고 추정할 수 있다.

 

참고로 신뢰구간은 보통 90%, 95%, 99% 이렇게 3가지를 많이 구한다. 그래서 각 신뢰구간의 α/2에 해당하는 Z값을 미리 알아두면, 매번 표준정규분포표에서 Z값을 찾지 않아도 되기에, 문제를 풀기가 한결 수월해진다. 해당 Z값을 정리하면 아래와 같다.