모평균의 신뢰구간 문제풀이(σ를 모르는 경우)

모평균의 신뢰구간은 “σ를 아는 경우”와 “σ를 모르는 경우”로 나뉘지만, 기본적인 개념은 거의 비슷하다. 그래서 문제풀이도 비슷하기에, 크게 어려울 건 없다. 단지 “σ를 모르는 경우”에는 정규분포 대신 t분포를 사용할 뿐이다. 그런데 n≥30이면 t분포는 정규분포와 값이 비슷해지기에, n≥30이면 t분포 대신 정규분포를 사용해도 된다.

 

 

1. 어느 공장에서 생산하는 제품의 모평균을 추리하기 위하여, 표본 9개를 뽑았더니 아래와 같이 나왔다고 한다. 이때 제품의 평균에 대한 95%의 신뢰구간을 구하시오.

          20        20        25        21        21        23        19        18        22

문제에서 표본평균과 표준편차가 주어지지 않고, 데이터만 나와 있다. 그래서 직접 표본평균과 표준편차를 구해야 하는데, 일단 표본평균은 21이 나오고 표본분산은 4.5가 나온다. 그다음 분산에 루트를 씌워보면 표본표준편차는 2.1213이 나온다.(참고)

 

그럼 이제 신뢰구간을 구할 수 있는데, 95%의 신뢰구간이므로 α/2=0.025이고 자유도는 9-1=8이다. 그래서 해당하는 값을 t분포표(표)에서 찾으면 tα/2=±2.306이 나온다. 그러므로 신뢰구간을 구해보면, 제품의 평균은 19.3694에서 22.6306 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

2. 어느 남자 고등학교에서 학생들의 평균 체중을 알아보기 위하여, 무작위로 31명을 뽑아 체중을 측정하였더니, 평균은 64kg이 나오고 표준편차는 5.3kg이 나왔다. 이때 평균 체중에 대한 90%의 신뢰구간을 구하시오.

표본이 30개 이상이므로 정규분포를 사용하는데, σ를 모르기 때문에 σ 대신 표본표준편차 s를 사용한다. 그럼 90%의 신뢰구간이므로 Zα/2=±1.645이다.(Z값 구하는 법은 여기를 (참고)하면 된다) 그래서 90%의 신뢰구간을 구해보면, 평균 체중은 62.4341kg에서 65.5659kg 사이라고 추정할 수 있다.

     

그런데 이 문제를 t분포를 사용해서 구해보면, 일단 α/2=0.05이고 자유도는 31-1=30이므로 표에서 해당하는 값을 찾으면 tα/2=±1.697이 나온다. 그래서 신뢰구간은 62.3846과 65.6154가 나오는데, 위에서 정규분포로 풀었을 때와 비슷한 근삿값이 나온다. 그래서 n≥30이면 어차피 값이 비슷하기에, 정규분포를 사용한다.

 

참고로 “t분포표”를 분석해 보면, 무한대(∞)일 때의 t값이 “σ를 아는 경우”에 사용하였던 Z값과 거의 흡사한 것을 알 수 있다. 그래서 n이 점점 커져서 무한대로 갈수록, t분포로 구한 신뢰구간은 정규분포로 구한 신뢰구간과 점점 비슷해진다.