모비율의 신뢰구간 문제풀이

이전 글에서 비율은 확률과 마찬가지로 0에서 1 사이의 값만 나온다고 했었다. 그래서 비율이 0에 가까울수록 구하고자 하는 수가 전체에서 차지하는 비중은 매우 낮다는 소리이고, 반대로 비율이 1에 가까울수록 구하고자 하는 수가 전체에서 차지하는 비중은 매우 높다는 소리이다. 어쨌든 비율은 0~1 사이의 값만 나오는데, 단지 신뢰구간을 구할 때는 추가로 ±허용오차를 하기 때문에, 0~1을 벗어난 값이 나올 수도 있다.

하지만 비율은 0~1 사이를 벗어나면 해석이 되지 않는데, 예를 들어 비만율을 조사하기 위해서 10명을 뽑았다고 해보자. 그럼 비율이 1.2가 나왔다면, 이것은 “10명을 뽑았는데, 이 중에서 12명이 비만”이라는 소리다. 그래서 말이 안 되는 것을 알 수 있다. 그리고 비율이 -0.2가 나왔다면, -값 때문에 “0.2만큼 비중이 없다”라고 해석이 되기에, 이것 역시도 말이 안 된다. 그래서 비율은 0~1 사이의 값만 나와야 하는데, 만약 모비율의 신뢰구간을 구했을 때 0~1을 벗어난 값이 나온다면, 표본의 수(n)를 늘려줘야 한다. 그러면 비율은 0~1 사이의 값만 나오게 되는데, 어쨌든 이러한 이유로 모비율의 신뢰구간은 대체로 표본의 수가 많은 편이다.

 

그리고 모비율의 신뢰구간은 “표본비율”과 “표본의 수” 그리고 “Z값”만 알면 문제를 풀 수 있기에, 여러 신뢰구간 중에서 가장 계산하기가 편하다. 그런데 신뢰구간에서 사용하는 Z값은 보통 3개밖에 없다. 그래서 3개의 Z값을 미리 알고 있다면, 굳이 표준정규분포표에서 값을 찾을 필요가 없기에, 훨씬 수월하게 문제를 풀 수 있다. 참고로 표준정규분포표를 사용해서 Z값을 구하는 방법은 여기를 (참고)하면 된다.

 

 

 

 

1. 우리나라 성인 남성의 흡연율을 조사하기 위해서, 성인 남자 1000명을 무작위로 뽑아 흡연 여부를 조사하였더니, 430명이 흡연을 하고 있었다. 이때 흡연율(모비율)에 대한 90%의 신뢰구간을 추정하시오.

표본비율은 430/1000=0.43이고 표본의 수 n=1000이다. 그리고 90%의 신뢰구간이므로 Zα/2=±1.645이다. 그래서 우리나라 성인 남자의 흡연율은 0.4042에서 0.4558 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

2. 우리나라의 이혼율을 조사하기 위해서, 결혼한 적이 있는 사람 500명을 뽑아 이혼 여부를 조사하였더니, 총 235명이 이혼을 하였다. 이때 우리나라의 이혼율(모비율)에 대한 95%의 신뢰구간을 구하시오.

표본비율은 235/500=0.47이고 표본의 수 n=500이며 95%의 신뢰구간이므로 Zα/2=±1.96이다. 그래서 95%의 신뢰구간을 구해보면, 우리나라의 이혼율은 0.4263에서 0.5137 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

3. 대졸 취업률을 조사한다고 한다. 그래서 대졸자 700명을 임의대로 뽑아 취업 여부를 조사하였더니, 현재 취업 상태인 인원은 406명으로 나왔다. 이때 대졸 취업률(모비율)에 대한 99%의 신뢰구간을 구하시오.

표본비율은 406/700=0.58이고 n=700이며 Zα/2=±2.575이다. 그래서 대졸 취업률은 0.532에서 0.628 사이라고 추정할 수 있다.