모분산의 신뢰구간 문제풀이

추정에서 모분산을 추리하는 것은 곧 치우침을 추리하는 것인데, 보통 표본을 뽑아서 얻어낸 표본분산(s²)을 기본바탕으로 모분산(σ²)을 추리한다. 그리고 모분산의 신뢰구간을 구할 때는 카이제곱분포표에서 α/2와 1-α/2에 해당하는 x축 좌표를 찾아야 하는데, 이 부분이 조금 헷갈릴 수 있으니 신경 써줘야 한다.

 

 

1. 어느 회사에서는 생산하는 제품의 모분산을 추리하기 위하여, 표본 10개를 뽑았더니 표본분산은 6.42가 나왔다고 한다. 이때 제품의 모분산에 대한 90%의 신뢰구간을 구하시오.

먼저 90%의 신뢰구간이므로 α/2=0.05이고 1-α/2=0.95이다. 그리고 자유도는 10-1=9이므로, 해당하는 값을 카이제곱분포표(표)에서 찾으면, χ²값은 각각 16.92와 3.33이 나온다. 그래서 90%의 신뢰구간을 구해보면, 제품의 모분산은 3.4149에서 17.3514 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

2. 어느 제약회사에서 새롭게 출시하려는 알약의 효능을 테스트하고 있다. 그래서 임상실험을 통해 표본 13개를 뽑았더니 표준편차는 3.2가 나왔다고 한다. 이때 알약의 모분산에 대한 95%의 신뢰구간을 구하시오.

문제를 보면, 분산이 아니라 표준편차가 나와 있으므로 조심해야 한다. 그럼 95%의 신뢰구간이기에 α/2=0.025이고 1-α/2=0.975이다. 그다음 자유도는 13-1=12이므로, 표에서 해당하는 값을 찾으면 각각 23.34와 4.4가 나온다. 그래서 알약의 모분산은 5.2648에서 27.9273 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

3. 어느 자동차 타이어를 생산하는 회사에서 불량률을 줄이기 위하여, 타이어의 모분산을 추정한다고 한다. 그래서 표본으로 타이어 15개를 뽑았더니 표본분산은 7.5가 나왔다. 이때 타이어의 모분산에 대한 99%의 신뢰구간을 추정하시오.

99%의 신뢰구간이므로 α/2=0.005이고 1-α/2=0.995이며 자유도는 15-1=14이다. 그래서 해당하는 값을 표에서 찾으면 31.32와 4.07이 나오므로, 타이어의 모분산은 3.3525에서 25.7985 사이라고 추정할 수 있다.