두 모평균 차이의 신뢰구간 구하는 법(σ를 아는 경우)

사람들은 평소에 “비교질”을 좋아하기에, 서로 다른 집단끼리 비교를 많이 한다. 그리고 보통 평균을 많이 비교하는데, 두 모평균의 신뢰구간은 집단 각각의 모평균을 추정하는 것이 아니라, 두 모집단의 평균이 서로 얼마나 차이 나는지를 추정하는 것이다. 그래서 두 집단의 평균을 어떻게 비교하는지에 대해서 몇 가지 예를 들면 아래와 같다.

그리고 평균을 비교할 때는 뺄셈을 활용하는데, 예를 들어 한국 성인 남자와 일본 성인 남자의 평균키를 비교한다고 해보자. 그럼 한국 성인 남자의 평균키는 173cm이고 일본 성인 남자의 평균키는 170cm라고 한다면, 두 집단의 평균차이는 173-170=3cm라는 것을 알 수 있다. 이렇게 두 모평균의 신뢰구간은 각 집단의 모평균을 따로따로 추정하는 것이 아니라, 뺄셈을 활용해서 173-170=3cm처럼 평균의 차이가 얼마인지를 추정하는 것이다.(단, 이렇게 점추정을 하는 것이 아니라 구간추정을 한다)

 

그리고 두 모평균의 신뢰구간은 “σ1과 σ2를 아는 경우”와 “σ1과 σ2를 모르는 경우”로 나뉘는데, 이번에는 “σ1과 σ2를 아는 경우”에 대해서 알아보자. 사실 무엇인가를 추정할 때 모집단의 모수인 σ를 아는 경우는 거의 없다. 그래서 “σ1과 σ2를 아는 경우”는 그냥 σ를 알고 있다고 가정한 거라고 생각하면 된다.(참고) 그리고 신뢰구간을 구할 때는 정규분포를 사용하는데, 모집단이 2개이므로 정규분포 공식에서 집단이 1개 추가된다.

 

그럼 위의 공식과 정규분포 그래프의 양쪽 x축 좌표를 활용하면, 신뢰구간의 공식을 구할 수 있는데, 두 모평균이 서로 얼마나 차이 나는지를 추정하는 것이므로 μ1-μ2를 중심으로 공식을 유도하면 된다.