두 모평균 차이의 신뢰구간 문제풀이(σ를 모르는 경우)

이전 글에서 두 모평균의 신뢰구간을 구할 때, “σ1과 σ2를 모르는 경우”에는 t분포를 사용한다고 했었다. 그런데 표본의 수가 많아지면 t분포표를 사용할 수 없기에, 대표본일 때는 정규분포를 사용한다. 그리고 만약 문제를 풀 때, 분산이 바로 주어지지 않고 데이터만 주어진 경우에는 직접 s²을 구해야 하는데, 구하는 법은 여기를 (참고)하면 된다.

 

 

 

1. 건전지를 생산하는 두 회사가 있는데, 두 회사 건전지의 평균수명이 얼마나 차이 나는지를 비교하려고 한다. 그래서 각각 16개와 15개의 건전지를 표본으로 뽑아 실험하였더니, 표본평균은 각각 140일과 120일이 나왔고, 표본분산은 10일과 15일이 나왔다고 한다. 이때 두 건전지의 평균수명의 차이에 대한 95%의 신뢰구간을 구하시오.

 

문제에서 먼저 합동표준편차 sp를 구해보면 3.5233이 나온다. 그리고 95%의 신뢰구간이므로, α/2=0.025이고 자유도는 16+15-2=29인데, 해당하는 값을 t분포표(표)에서 찾으면 tα/2=±2.045가 나온다. 그러므로 공식에 대입해서 95%의 신뢰구간을 구해보면, 두 건전지의 평균수명의 차이는 17.4105일에서 22.5895일 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

2. 스마트폰 배터리를 만드는 두 회사가 있는데, 두 회사 배터리의 평균지속시간이 얼마나 차이 나는지를 비교하려고 한다. 그래서 각각 10개와 7개의 배터리를 표본으로 뽑아 평균지속시간을 파악하였더니, 표본평균은 각각 15시간과 12시간이 나왔고, 표본분산은 3시간과 4시간이 나왔다고 한다. 이때 두 배터리의 평균지속시간의 차이에 대한 90%의 신뢰구간을 구하시오.

 

문제에서 일단 합동표준편차를 구해보면 1.8439가 나온다. 그다음 90%의 신뢰구간이므로 α/2=0.05이고 자유도는 10+7-2=15이므로, 해당하는 값을 표에서 찾으면 tα/2=±1.753이 나온다. 그래서 두 배터리의 평균지속시간의 차이는 1.4071시간에서 4.5929시간 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

3. 우유를 생산하는 두 회사 A와 B가 있는데, 두 회사 우유의 평균용량이 얼마나 차이 나는지를 비교하려고 한다. 그래서 각각 60개와 70개의 우유를 표본으로 뽑아서 조사하였더니, 평균용량은 250mL와 210mL가 나왔고, 표본분산은 13mL와 9mL가 나왔다고 한다. 이때 두 회사 우유의 평균용량의 차이에 대한 99%의 신뢰구간을 구하시오.

일단 n1+n2-2가 t분포표에 없기에, 정규분포를 사용해야 한다. 그럼 99%의 신뢰구간에서 Zα/2=2.575이므로,(참고) 두 회사 우유의 평균용량의 차이는 38.487mL에서 41.513mL 사이라고 추정할 수 있다.