두 모평균 차이의 가설검정 문제풀이(σ를 아는 경우)

가설검정을 할 때는 여러 확률분포를 사용하는데, 이 중에서 정규분포가 가장 사용하기 편하다. 왜냐하면 기각역을 구할 때, 다른 확률분포는 자유도에 따라서 값이 달라지므로, 매번 표를 찾아야 하는 번거로움이 있지만, 정규분포는 자유도가 없어서 자주 사용하는 기각역이 몇 개로 한정되어 있다. 그래서 기각역을 구하기가 매우 편한데, 해당 기각역은 아래와 같다. 참고로 표준정규분포표에서 Z값을 찾는 법은 여기를 (참고)하면 된다.

 

 

 

 

1. 도시와 농촌의 월평균소득은 서로 비슷하다고 알려져 있는데, 일부 농민운동단체에서는 도시의 월평균소득이 더 많다고 주장한다. 그래서 실제로 그러한지를 알아보기 위해 각각 100개와 90개의 가구를 조사하였더니, 도시가구의 월평균소득은 240만 원이 나왔고 농촌가구의 월평균소득은 230만 원이 나왔다. 그럼 도시가구의 모표준편차는 60만 원이고 농촌가구의 모표준편차는 70만 원이라고 가정했을 때, 도시의 월평균소득이 더 크다고 할 수 있는지 유의수준 10%에서 검정하시오.

대립가설로 도시의 월평균소득이 더 많다는 주장이 나왔으므로, 대립가설을 μ1이 더 “크다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 1.05가 나온다.

 

그다음 유의수준 α=0.1이므로 기각역은 1.28이다. 그럼 검정통계량이 “채택역”안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그래서 도시의 월평균소득이 더 많다고 할 수 없다.

 

 

 

 

2. 체크카드를 사용하면 신용카드를 사용할 때보다, 카드 사용액이 더 낮아진다는 의견이 나오고 있다. 그래서 실제로 어떠한지를 알아보기 위해 각 카드사용자 55명과 60명의 카드 사용액을 조사하였더니, 체크카드의 평균 사용액은 50만 원이었고 신용카드의 평균 사용액은 100만 원이었다. 그럼 체크카드의 모표준편차는 25만 원이고 신용카드의 모표준편차는 30만 원이라고 가정했을 때, 체크카드를 사용하면 카드 사용액이 더 낮아진다고 할 수 있는지 유의수준 1%에서 검정하시오.

대립가설로 체크카드를 사용하면 카드 사용액이 더 낮아진다는 의견이 나왔으므로, 대립가설은 “작다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 -9.74가 나오는데, 딱 봐도 왼쪽으로 치우친 값이라서 굳이 기각역과 비교해보지 않아도 귀무가설이 기각(탈락)이라는 것을 알 수 있다.

 

이미 판단은 끝났지만 그럼에도 기각역을 한 번 구해보면, 일단 유의수준 α=0.01인데 0.01에 해당하는 Z값은 2.33이다. 그런데 그래프의 왼쪽 좌표라서 -값을 붙이면 기각역은 -2.33이 된다. 그럼 검정통계량이 “기각역”안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그래서 체크카드를 사용하면 카드 사용액이 더 낮아진다고 할 수 있다.

 

 

 

 

3. 두 개의 건전지 A와 B가 있는데, A건전지의 평균수명이 100일 더 길다고 알려져 있다. 하지만 일부에서는 아닐 수도 있다는 의견이 나오고 있어서, 실상을 파악하기 위해 각 건전지 50개와 60개 뽑았더니, A건전지의 평균수명은 470일이 나왔고 B건전지의 평균수명은 360일이 나왔다. 그리고 과거에 수집한 데이터를 분석해보니, A건전지의 모표준편차는 20일이고 B건전지의 모표준편차는 30일이라고 한다. 이때 A건전지의 평균수명이 100일 더 길다고 할 수 있는지 유의수준 5%에서 검정하시오.

대립가설로 아닐 수도 있다는 의견이 나왔는데, 더 큰지 아니면 작은지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설은 “같지 않다”로 설정한다. 그런데 이 문제는 응용된 문제로, 귀무가설과 대립가설 세우는 것이 조금 복잡하다. 왜냐하면 보통 가설을 세울 때는 μ1-μ2=0처럼 “0”으로 세우는 것이 일반적인데, μ1=μ2에서 μ2를 좌변으로 넘기기 때문에 0이 되는 것이다. 그런데 이 문제는 μ1과 μ2가 서로 같은 것이 아니라, 100일의 차이가 있다. 그래서 추가로 100을 넣어줘야 하는데, A의 평균수명이 더 길기 때문에, B에다가 +100을 해줘야 A와 값이 서로 같아진다. 그래서 가설을 μ1=μ2+100이라고 설정하는데, μ2를 좌변으로 넘기면 μ1-μ2=100이 된다. 그리고 μ1-μ2=100이기 때문에, 검정통계량의 μ1-μ2에는 0 대신 100이 들어간다. 그래서 검정통계량을 구해보면 2.09가 나온다.

 

다음으로 유의수준 α=0.05인데, 양측검정이므로 α/2=0.025에 해당하는 Z값 1.96이다. 그런데 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±1.96이기에, 검정통계량은 “기각역”안에 위치하게 된다. 그래서 귀무가설이 기각(탈락)이기에 A건전지의 평균수명이 100일 더 길다고 할 수 없다.