두 모평균 차이의 가설검정 문제풀이(σ를 모르는 경우)

이전 글에서 두 모평균 차이의 가설검정에서 “σ를 모르는 경우”에는 일반적으로 t분포를 사용한다고 했었는데, 단지 t분포는 표본의 수가 많아지면 사용할 수가 없기에, 표본의 수가 많을 때는 정규분포를 사용한다고 했었다. 그리고 이전에 알아보았던 “σ를 아는 경우”의 문제풀이와 거의 비슷하기에, 문제를 풀 때 크게 어려울 건 없다.

 

 

 

1. 공대생과 인문대생의 월평균독서량이 차이가 나는지를 알아보려고 한다. 그래서 공대생 10명과 인문대생 11명을 뽑아 월평균독서량을 조사하였더니, 평균은 각각 5권과 7권이 나왔고, 표본분산은 각각 0.5권과 2권이 나왔다. 그럼 공대생과 인문대생의 월평균독서량이 차이가 나는지를 유의수준 5%에서 검정하시오.

 

공대생과 인문대생의 월평균독서량이 차이가 나는지를 알아보려고 하는데, 어느 집단의 독서량이 더 많은지 아니면 적은지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설은 “같지 않다”로 설정한다. 그리고 합동표준편차를 구해보면 1.1355가 나오고, 이어서 검정통계량을 구해보면 -4.03이 나온다.

 

그다음 유의수준 α=0.05인데, 양측검정이므로 α/2=0.025이고 자유도는 10+11-2=19이다. 그래서 해당하는 값을 t분포표(표)에서 찾으면 2.093이 나오는데, 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±2.093이다. 그럼 검정통계량이 “기각역”안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그래서 공대생과 인문대생의 월평균독서량은 차이가 난다고 할 수 있다.

 

 

 

 

2. 스마트폰 배터리 A와 B가 있는데, 일부에서는 배터리 A의 평균 지속시간이 더 짧다는 의견이 나오고 있다. 그래서 각각 31개와 12개의 표본을 뽑아 지속시간을 조사하였더니, 평균 지속시간은 각각 12시간과 15시간이 나왔고, 표본분산은 각각 6시간과 5시간이 나왔다. 그럼 배터리 A의 평균 지속시간이 더 짧다고 할 수 있는지 유의수준 1%에서 검정하시오.

대립가설로 배터리 A의 평균 지속시간이 더 짧다는 의견이 나왔으므로, 대립가설은 μ1이 더 “작다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 -3.84가 나온다.

 

그런데 자유도를 구해보면 31+12-2=41이 나오는데, 자유도 41은 t분포표에 나와 있지 않다. 그래서 정규분포를 사용하는데, 유의수준 α=0.01에 해당하는 Z값을 표준정규분포표에서 찾으면 2.33이 나온다.(표준정규분포표에서 Z값 찾는 법은 여기를 (참고)하면 된다) 그런데 왼쪽 좌표라서 -를 붙여야 하므로, 기각역은 -2.33이다. 그러면 검정통계량이 “기각역”안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그래서 배터리 A의 평균 지속시간이 더 짧다고 할 수 있다.

 

 

 

 

3. 두 개의 진통제 A와 B가 있는데, 진통제 B의 지속시간이 7시간 더 길다고 알려져 있다. 하지만 일부에서는 지속시간의 차이가 7시간보다는 작을 것이라는 소리를 하고 있다. 그래서 실제로 어떠한지를 알아보기 위해 각각 11개와 9개의 표본을 뽑았더니, 평균 지속시간은 각각 17시간과 23시간이 나왔고, 표본분산은 각각 6시간과 7시간이 나왔다. 그럼 두 진통제의 지속시간의 차이가 7시간보다 작다고 할 수 있는지, 유의수준 10%에서 검정하시오.

응용된 문제로 가설을 세우는 것이 조금 까다로운데, 일단 보통 귀무가설과 대립가설은 μ1-μ2=0처럼 “0”으로 세우는데, μ1=μ2에서 μ2가 좌변으로 넘어가기 때문에 우변이 0이 되는 것이다. 하지만 위의 문제는 원래부터 μ1과 μ2의 값이 같은 것이 아니라 7시간의 차이가 난다. 그래서 추가로 7을 넣어줘야 하는데, 진통제 B의 지속시간이 더 길기 때문에, B에다가 -7을 해줘야 A와 값이 같아진다. 그리고 대립가설로 지속시간의 차이가 “7시간보다는 작을 것”이라는 소리가 나왔는데, 두 진통제의 지속시간의 차이가 7시간보다 작아지려면, 어쨌든 A의 지속시간이 알려져 있는 시간보다는 더 길어야 가능하다. 그래서 대립가설의 부등호를 A가 더 “크다”로 세우면 된다. 마지막으로 μ2를 좌변으로 넘기면 가설이 완성된다.

 

그리고 합동표준편차 구해보면 2.5386이 나오고, 검정통계량을 구해보면 0.88이 나오는데, 한 가지 주의할 것은 검정통계량의 μ1-μ2에는 0 대신 -7을 대입해야 한다.

 

그다음 유의수준 α=0.1이고 자유도는 11+9-2=18이므로, t분포표에서 해당하는 값을 찾으면 1.33이 나온다. 그래서 기각역은 1.33이므로, 검정통계량은 “채택역”안에 위치하게 된다. 그래서 귀무가설이 채택되므로 진통제 B의 지속시간이 7시간 더 길다고 할 수 있다.