모분산의 가설검정 문제풀이

먼저 모분산의 가설검정은 “모분산이 이럴 것이다”라고 설정된 귀무가설과 대립가설 중에서 하나의 가설을 선택하는 것인데, 이전에 다루었던 “모평균”과 “모비율”이랑 비슷하기에 문제를 풀 때 크게 어려울 건 없다. 그리고 만약 문제에서 표본분산이 바로 주어지지 않고 데이터만 주어진 경우에는, 직접 표본분산을 구해야 하는데 표본분산 구하는 법은 여기를 (참고)하면 된다.

 

 

1. 어느 A회사에서 생산하는 LED형광등의 분산은 25라고 알려져 있는데, 최근에는 제품의 불량률이 높아져서, 분산이 25보다 클 수도 있다는 의견이 나왔다. 그래서 분산이 실제로 어떠한지를 알아보기 위해서 표본 10개를 뽑았더니, 표본분산은 29가 나왔다. 그럼 제품의 분산이 25보다 크다고 할 수 있는지 유의수준 5%에서 검정하시오.

대립가설로 분산이 25보다 클 수도 있다는 의견이 나왔으므로, 대립가설은 “크다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 10.44가 나온다.

 

그다음 유의수준 α=0.05이고 자유도는 10-1=9이므로, 해당하는 값을 카이제곱분포표(표)에서 찾으면 16.92가 나온다. 그래서 기각역은 16.92이므로, 검정통계량은 “채택역”안에 위치하게 된다. 그러므로 귀무가설이 채택되기에 제품의 분산은 25보다 크다고 할 수 없다.

 

 

 

 

2. 어느 회사에서 생산하는 제품의 분산은 3이라고 한다. 그런데 이 제품은 치우침에 민감하기에, 최근 품질관리팀에서는 치우침을 줄이기 위하여 여러 가지 시도를 하였다. 그래서 일부에서는 제품의 분산이 3보다 작아졌을 것이라는 소리가 나오기에, 실제로 그러한지를 알아보기 위해 표본 11개를 뽑았더니 표본분산은 1.3이 나왔다. 그럼 제품의 분산이 3보다 작아졌다고 할 수 있는지 유의수준 1%에서 검정하시오.

대립가설로 분산이 3보다 작아졌을 것이라는 소리가 나오므로, 대립가설은 “작다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 4.33이 나온다.

 

그다음 유의수준 α=0.01인데, 왼쪽 기각역이므로 1-0.01=0.99와 자유도 11-1=10에 해당하는 값을 카이제곱분포표에서 찾으면 2.56이 나온다. 그럼 기각역은 2.56이기에, 검정통계량은 “채택역”안에 위치한다. 그래서 귀무가설이 채택되기에 제품의 분산은 3보다 작다고 할 수 없다.

 

 

 

 

3. 어느 한 실험의 분산은 10이라고 알려져 있는데, 최근에는 실험의 결과가 이상하게 나와서, 아무래도 실험의 분산은 10이 아닐 수도 있다는 의견이 나왔다. 그래서 실상을 파악하기 위하여 표본 16개를 뽑았더니 표본분산은 2가 나왔다. 이때 실험의 분산에 대해서 유의수준 10%에서 검정하시오.

대립가설로 분산은 10이 아닐 수도 있다는 의견이 나왔는데, 10보다 작은지 아니면 큰지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설은 “같지 않다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 3이 나온다.

 

그다음 양측검정이므로 α가 그래프의 양쪽으로 나뉘기 때문에 1-α/2와 α/2로 기각역을 구하는데, 1-α/2=0.95이고 α/2=0.05이다. 그리고 자유도는 16-1=15이므로, 해당하는 값을 표에서 찾으면 기각역은 7.26과 25가 나온다. 그럼 검정통계량이 “기각역”안에 위치하므로, 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그래서 실험의 분산은 10이 아니라고 할 수 있다.