대응표본의 신뢰구간 구하는 법

대응표본은 하나의 집단을 대상으로 실험을 실시하여, 실험 전후에 따라서 평균이 어떻게 달라지는지를 비교하는데, 보통 실험 전의 평균을 μ1으로 표기하고 실험 후의 평균을 μ2라고 표기한다. 그리고 신뢰구간을 추정할 수도 있는데, 다른 두 모집단의 신뢰구간과 마찬가지로, 실험 전후의 평균을 따로따로 추정하는 것이 아니라, 실험 전후의 평균이 서로 얼마나 차이 나는지를 추정한다.

그리고 실험 전후의 평균을 비교할 때는 “뺄셈”을 활용하는데, 예를 들어 어떠한 실험을 한다고 해보자. 그럼 실험 전의 평균이 65이고, 실험 후의 평균이 62라고 한다면, 실험 전후의 두 평균의 차이는 65-62=3이라는 것을 알 수 있다. 이렇게 대응표본의 신뢰구간은 “뺄셈”을 활용해서, 실험 전후의 두 평균이 서로 얼마나 차이 나는지를 추정한다.(단, 이렇게 점추정을 하는 것이 아니라 구간추정을 한다)

 

그리고 이전 글에서 대응표본은 n이 커지면 정규분포를 사용할 수도 있지만, 표준편차를 계산하기가 힘들어서 정규분포는 거의 사용하지 않는다고 했었다. 그래서 대응표본은 대부분 t분포를 사용하는데, 공식은 가설검정에서 사용한 검정통계량과 동일하다. 그러므로 대응표본의 가설검정을 할 줄 알면, 신뢰구간도 쉽게 구할 수 있다.

 

그럼 위의 공식과 함께 α/2에 해당하는 t분포 그래프의 x축 좌표를 활용하면, 신뢰구간의 공식을 유도할 수 있는데, 실험 전후에 따른 두 평균의 차이가 얼마인지를 추정하는 것이므로, μ1-μ2를 중심으로 공식을 재배열하면 된다. 그래서 대응표본의 신뢰구간 구하는 공식은 아래와 같다.