대응표본의 가설검정 문제풀이

이전 글에서 대응표본의 가설검정은 기본적으로 t분포를 사용한다고 했었는데, n≥30이면 t분포 대신 정규분포를 사용하기는 한다. 하지만 대응표본은 표준편차를 직접 구해야 하므로, n이 커지면 표준편차를 계산하기가 힘들다. 그래서 실상 n≥30인 문제는 거의 나오지 않기에, 정규분포를 사용할 일은 없다고 봐도 된다.

 

 

1. 어느 공장에서 작업자를 대상으로 교육훈련을 실시하면, 생산량에 차이가 생기는지를 알아보려고 한다. 이에 작업자 5명을 뽑아 교육 전후에 따른 생산량을 조사하였더니 아래와 같이 나왔다. 그럼 교육훈련을 실시하면 생산량에 차이가 생기는지 유의수준 10%에서 검정하시오.

교육 전 생산량:        60        72       45        55        70

교육 후 생산량:        69        65        50        63        65

 

교육훈련을 실시하면 생산량에 차이가 생기는지를 알아보려고 하는데, 생산량이 감소할지 아니면 증가할지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설을 “같지 않다”로 설정한다. 그리고 교육 전후 차이의 평균을 구해보면 -2가 나오고, 차이의 표준편차를 구해보면 7.4833이 나온다.

 

그래서 검정통계량은 –0.6이 나온다. 그다음 유의수준 α=0.1인데, 양측검정이므로 α/2=0.05이고 자유도는 5-1=4이다. 그래서 해당하는 값을 t분포표(표)에서 찾으면 2.132가 나오는데, 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±2.132이다. 그럼 검정통계량이 “채택역”안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그래서 교육훈련을 실시해도 생산량에는 차이가 없다.(=는 차이가 없다는 뜻이다)

 

 

 

 

2. 어느 보험회사가 있는데, 회사의 일부 임직원은 지속적으로 영업교육을 실시해야, 영업사원의 계약 건수가 증가한다고 주장한다. 이에 실제로 어떠한지를 알아보기 위해 영업사원 4명을 뽑아 계약 건수를 조사하였더니, 아래와 같이 나왔다. 그럼 영업교육을 실시하면 계약 건수가 증가한다고 할 수 있는지 유의수준 10%에서 검정하시오.

교육 전 계약 건수:        1        2        1        4

교육 후 계약 건수:        7        5        8        4

 

영업교육을 실시해야 계약 건수가 증가한다고 하므로, 대립가설은 μ2가 더 “크다”(즉, μ1이 더 “작다”)로 설정한다. 그리고 교육 전후 차이의 평균을 구해보면 -4가 나오고, 차이의 표준편차를 구해보면 3.1623이 나온다.

 

그래서 검정통계량은 -2.53이 나온다. 다음으로 유의수준 α=0.1이고 자유도는 4-1=3이므로, 해당하는 값을 표에서 찾으면 1.638이 나온다. 그런데 왼쪽 좌표이므로 -를 붙이면 기각역은 -1.638이 된다. 그럼 검정통계량이 “기각역”안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그래서 영업교육을 실시하면 계약 건수가 증가한다고 할 수 있다.

 

 

 

 

3. 어느 약품회사에서 제조한 다이어트 약이 있는데, 임상실험 결과 효과가 미비한 걸로 나왔다. 하지만 일부에서는 임상실험의 결과가 잘못되었다면서, 해당 다이어트 약을 복용하면 6kg을 초과하여 체중이 감량한다고 주장하고 있다. 이에 실제로 어떠한지를 알아보기 위해 5명을 대상으로 효과를 분석하였더니, 결과는 아래와 같이 나왔다고 한다. 그럼 해당 다이어트 약을 복용하면 6kg을 초과하여 체중이 감량한다고 할 수 있는지 유의수준 1%에서 검정하시오.

복용 전 체중:        63        65        81        75        73

복용 후 체중:        56        61        63        76        66

응용된 문제라서 가설 세우기가 조금 복잡한데, 일단 다이어트 약을 복용하면 체중감량이 되기 때문에, 복용 전 체중의 평균(μ1)이 상대적으로 더 크고, 복용 후 체중의 평균(μ2)이 상대적으로 더 작다. 그런데 대립가설로 다이어트 약을 복용하면 체중이 감량한다고 했는데, 체중이 감량하려면 어쨌든 μ2의 값이 더 작아져야 가능하다. 그래서 대립가설은 μ2가 더 “작다”(즉, μ1이 더 “크다”)로 설정한다.

 

그리고 보통 귀무가설과 대립가설은 μ1-μ2=0처럼 “0”으로 세우는 것이 일반적인데, μ1=μ2에서 μ2가 좌변으로 넘어가기 때문에, 우변이 0이 되는 것이다. 하지만 위의 문제는 원래부터 μ1과 μ2의 값이 서로 같은 것이 아니라 6kg의 차이가 있다. 그래서 추가로 6을 넣어줘야 하는데, 복용 전 체중이 더 많이 나가기 때문에, μ2에다가 +6을 해줘야 값이 서로 같아진다. 마지막으로 μ2를 좌변으로 넘기면 가설이 완성된다. 그리고 복용 전후 차이의 평균을 구해보면 7이 나오고, 차이의 표준편차를 구해보면 6.9642가 나온다.

 

그래서 검정통계량은 0.32가 나오는데, 검정통계량의 μ1-μ2에는 0 대신 6을 넣어줘야 한다. 그다음 유의수준 α=0.01이고 자유도는 5-1=4이므로, 해당하는 값을 표에서 찾으면 3.747이 나온다. 그래서 기각역은 3.747이기에, 검정통계량은 “채택역”안에 위치하게 된다. 그래서 귀무가설이 채택이므로, 다이어트 약을 복용하면 6kg을 초과하여 체중이 감량하지 않는다.