두 모분산 차이의 가설검정 문제풀이

두 모분산의 가설검정을 할 때는 기본적으로 F분포를 사용하는데, F분포를 사용해서 검정통계량과 기각역을 구한다. 그리고 기각역은 아래와 같은데, 단지 왼쪽 기각역을 구할 때는 자유도가 서로 바뀌며, 추가로 1/F를 해줘야 하기 때문에 조심해야 한다. 그리고 양측검정을 할 때는 α/2를 하면 된다. 그럼 몇 가지 문제를 풀어보자.

 

 

 

1. 동일한 제품을 생산하는 기계1과 기계2가 있는데, 두 기계에서 생산하는 제품의 분산은 서로 같은 것으로 알려져 있다. 하지만 일부에서는 기계1에서 생산한 제품의 분산이 더 큰 것 같다는 의견이 나오고 있어서, 이에 실상을 파악하기 위해 각각 표본 6개와 12개를 뽑았더니, 표본분산은 각각 30과 8이 나왔다. 그럼 기계1에서 생산하는 제품의 분산이 더 크다고 할 수 있는지 유의수준 10%에서 검정하시오.

대립가설로 기계1에서 생산하는 제품의 분산이 더 큰 것 같다는 의견이 나왔으므로, 대립가설은 σ1²이 더 “크다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 3.75가 나온다.

 

그다음 유의수준 α=0.1이고 분자의 자유도는 6-1=5이며 분모의 자유도는 12-1=11이므로, 해당하는 값을 F분포표(표)에서 찾으면 2.45가 나온다. 그래서 기각역은 2.45이므로, 검정통계량이 “기각역”안에 위치하게 된다. 그러므로 귀무가설이 기각(탈락)이기에, 기계1에서 생산한 제품의 분산이 더 크다고 할 수 있다.

 

 

 

 

2. 어떤 특정실험을 하는 방법이 2가지가 있는데, 실험1과 실험2의 분산은 서로 동일한 것으로 알려져 있다. 그런데 최근에는 실험1의 결과가 더 정확하게 나와서, 실험1의 분산이 더 작을 수도 있다는 의견이 나오고 있다. 이에 실제로 그러한지를 파악하기 위해 각각 5번과 7번의 실험을 하였더니, 표본분산은 각각 21과 25가 나왔다고 한다. 그럼 실험1의 분산이 더 작다고 할 수 있는지 유의수준 5%에서 검정하시오.

대립가설로 실험1의 분산이 더 작을 수도 있다는 의견이 나왔으므로, 대립가설은 σ1²이 더 “작다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 0.84가 나온다.

 

그다음 유의수준 α=0.05이고 분자의 자유도는 5-1=4이며 분모의 자유도 7-1=6인데, 왼쪽 좌표이므로 자유도를 서로 바꿔줘야 한다. 그래서 자유도 (6, 4)에 해당하는 값을 표에서 찾으면 6.16이 나오는데, 1/F를 해줘야하므로 기각역은 1/6.16=0.16이 된다. 그래서 검정통계량이 “채택역”안에 위치하므로 귀무가설이 채택되기에, 실험1의 분산이 더 작다고 할 수 없다.

 

참고로 F분포는 그 특성상 왼쪽좌표 구하는 법이 많이 짜증난다. 그래서 좌측검정보다는 우측검정만 하는 것이 정신건강에 좋은데, 집단의 순서를 서로 바꿔주면 좌측검정이 우측검정으로 바뀐다. 예를 들어 위의 문제에서 집단의 순서를 서로 바꿔보면, 일단 검정통계량은 25/21=1.19가 나오는데, 검정통계량이 1보다 크기 때문에, 우측검정이라는 것을 알 수 있다.(F분포는 숫자 1을 기준으로 좌측검정과 우측검정을 결정한다) 그리고 기각역은 자유도 (4, 6)에 해당하는 4.53이다. 이렇게 두 모분산의 가설검정은 좌측검정을 하는 것이 불편하기에, 집단의 순서를 서로 바꿔서 우측검정만 하는 것이 좋기는 하다. 하지만 문제를 풀 때, 위의 문제처럼 나올 경우에는 일단 좌측검정을 해야 한다.

 

 

 

 

3. 집단1과 집단2의 분산은 서로 동일한 것으로 알려져 있는데, 최근에는 두 집단의 분산이 서로 다를 수도 있다는 의견이 나왔다. 그래서 실제로 어떠한지를 알아보기 위해 각각 표본 11개와 8개를 뽑았더니, 표본분산은 각각 15와 10이 나왔다. 그럼 두 집단의 분산이 서로 다르다고 할 수 있는지 유의수준 5%에서 검정하시오.

대립가설로 두 집단의 분산이 서로 다를 수도 있다는 의견이 나왔는데, 어느 집단의 분산이 더 큰지 아니면 작은지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설은 “같지 않다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 1.5가 나온다.

 

그다음 유의수준 α=0.05인데, 양측검정이므로 α/2=0.025이다. 그리고 분자의 자유도는 11-1=10이고 분모의 자유도 8-1=7이므로, 왼쪽 기각역의 자유도는 (7, 10)이고, 오른쪽 기각역의 자유도는 (10, 7)이다. 그래서 해당하는 값을 표에서 찾으면 각각 3.95와 4.76이 나오는데, 왼쪽 기각역은 1/F를 해줘야하므로 1/3.95=0.25가 된다. 그럼 검정통계량이 “채택역”안에 위치하므로 귀무가설이 채택되기에, 두 집단의 분산은 서로 같다고 할 수 있다.

 

참고로 양측검정도 좌측검정과 마찬가지로 왼쪽 기각역을 구해야 하므로, 계산하기가 짜증난다. 그래서 이런 경우에는 표본분산을 바탕으로 가설을 재정립하는 것도 하나의 방법이다. 그러니까 처음에는 어느 집단이 더 큰지 아니면 작은지는 모르지만, 표본을 뽑아보면 어느 집단이 더 큰지를 알 수 있다. 그래서 위의 문제도 집단1의 표본분산이 15로 더 크기 때문에 가설을 재정립해서, 대립가설을 σ1²>σ2²으로 세운 후 우측검정만 해도 된다. 그리고 이렇게 단측검정만 하는 것이, 양측검정을 하는 것보다 검정력도 더 좋다.(양측검정은 기각역이 양쪽으로 나뉘기 때문에, 단측검정에 비해서 검정력이 떨어진다) 하지만 위에서도 말했듯이, 문제를 풀 때는 위와 같이 나오면 일단 양측검정을 해야 한다.