최대공약수와 최소공배수의 관계 문제풀이

이전 글에서 두 자연수의 최대공약수와 최소공배수를 구해보면, 여기에는 한 가지 특이한 관계가 발생하는데, 바로 “두 자연수의 곱은, 최대공약수와 최소공배수의 곱과 서로 같아진다”고 했었다. 그래서 이러한 관계를 활용해서 여러 가지 문제를 풀 수가 있는데, 그럼 최대공약수와 최소공배수의 관계에 대한 몇 가지 문제를 풀어보자.

 

 

1. 두 자연수 A와 32의 최대공약수는 2이고, 최소공배수는 480이라고 한다. 이때 자연수 A를 구하시오.

두 자연수의 곱은, 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같으므로, A×32=2×480이다. 그래서 A=30이다.

 

 

 

 

2. 두 자연수 A와 2²×3²×5의 최대공약수는 2×3²이고, 최소공배수는 2²×3³×5라고 한다. 이때 자연수 A를 구하시오.

두 자연수의 곱은, 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같으므로, A×(2²×3²×5)=(2×3²)×(2²×3³×5)이다. 그래서 A=54이다.

 

 

 

 

3. 두 자연수 2^a×3²과 2²×3^b×5의 최대공약수는 2²×3이고, 최소공배수는 2²×3²×5라고 한다. 이때 a와 b를 구하시오.

두 자연수의 곱은, 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같으므로, (2^a×3²)×(2²×3^b×5)=(2²×3)×(2²×3²×5)이다. 그럼 식을 간단하게 나타내면 2^a+2×3^2+b×5=2⁴×3³×5가 되는데, 여기서 양변을 서로 비교해보면 a+2=4이고 2+b=3이라는 것을 알 수 있다. 그래서 a=2이고 b=1이다.

 

 

 

 

4. 최대공약수가 5이고 최소공배수가 50인, 두 자리의 자연수 A와 B가 있을 때, A+B를 구하시오.

이번 문제는 위와 같은 방식으로는 구할 수가 없다. 그래서 다른 방법으로 구해야 하는데, 일단 문제의 상황을 그림으로 나타내면 아래와 같고, 최소공배수는 5×a×b=50이므로, a×b=10이라는 것을 알 수 있다.

 

그리고 곱해서 10이 될 수 있는 두 자연수는 (1, 10) 그리고 (2, 5)밖에 없기에, 둘 중에서 하나가 정답이다. 그런데 문제에서 “두 자리”의 자연수 A와 B라고 했는데, 첫 번째 상황은 A=5이기에 두 자리의 자연수가 아니다. 그래서 두 번째 상황이 정답이기에 A=10이고 B=25다. 그러므로 A+B=35이다.