최대공약수와 최소공배수의 활용 문제풀이

먼저 최대공약수와 최소공배수를 활용하면 여러 상황의 문제를 풀 수가 있다. 그런데 어떤 상황에 최대공약수를 사용하고, 어떤 상황에 최소공배수를 사용하는지 헷갈릴 수가 있는데, 보통 쪼개거나 나누어서 “줄어”드는 경우에는 최대공약수를 사용하고, 붙이거나 쌓고 시간이 지나면서 “늘어”나는 경우에는 최소공배수를 사용하면 된다.

 

 

1. 가로의 길이는 200cm이고 세로의 길이는 80cm인 벽이 있는데, 이 벽에 가능한 한 큰 정사각형 모양의 타일을 붙이려고 한다. 이때 붙이려는 타일 한 선의 길이와, 붙이는데 필요한 타일의 개수를 구하시오.

쪼개서 크기가 “줄어”드는 경우이므로 최대공약수를 활용한다. 그래서 200과 80의 최대공약수를 구해보면 4×2×5=40이 나오므로, 타일 한 선의 길이는 40cm이다. 그리고 추가로 40cm인 정사각형 타일을 벽에 붙이기 위해서는, 가로에는 200/40=5개가 필요하고, 세로에는 80/40=2개가 필요하다. 그래서 붙이는데 필요한 타일의 총 개수는 5×2=10개이다.(참고로 200과 80 같이 숫자가 큰 경우에는, 처음부터 2나 3으로 나누는 것 보다는, 4나 6 혹은 9로 먼저 나눠보는 것이 계산하기에는 더 편하다)

 

 

 

 

2. 사탕 60개와 초콜릿 100개 그리고 귤 80개를, 각각 나누어서 똑같이 봉지에 담으려고 한다. 이때 최대한으로 만들 수 있는 봉지의 개수를 구하시오.

먼저 나누어서 개수가 “줄어”드는 경우이므로 최대공약수를 활용한다. 그래서 60과 100 그리고 80의 최대공약수를 구해보면 4×5=20이 나온다. 그래서 최대한으로 만들 수 있는 봉지의 개수는 20개이다.

 

 

 

 

3. 사과 312개와 배 490개를 최대한 많은 사람에게 똑같이 나누어 주었더니, 사과는 3개 그리고 배는 5개가 부족하였다. 이때 사과와 배를 받은 사람은 몇 명인지 구하시오.

먼저 나누어서 개수가 “줄어”드는 경우이므로 최대공약수를 활용하는데, 약간 응용된 문제다. 그래서 일단 사과와 배를 나누어 주었더니, 각각 3개와 5개가 부족하였으므로, 애초에 312+3과 490+5의 최대공약수를 구해야 한다. 그래서 사과와 배를 받은 사람은 총 9×5=45명이다.

 

 

 

 

4. 가로가 2cm이고 세로가 4cm이며 높이가 6cm인 나무토막이 여러 개 있는데, 이 나무토막을 쌓아서 가장 작은 정육면체 모양을 만들려고 한다. 이때 완성된 정육면체의 한 모서리의 길이를 구하고, 정육면체를 만드는데 필요한 나무토막의 개수를 구하시오.

쌓아서 크기가 “늘어”나는 경우이므로 최소공배수를 활용하는데, 2와 4와 6의 최소공배수를 구해보면 2×1×2×3=12가 나온다. 그래서 정육면체의 한 모서리의 길이는 12cm이다. 추가로 한 모서리가 12cm인 정육면체를 만들기 위해서는, 가로에는 12/2=6개 그리고 세로에는 12/4=3개 그리고 높이에는 12/6=2개가 필요하다. 그래서 총 필요한 나무토막의 개수는 6×3×2=36개이다.

 

 

 

 

5. 어느 버스 정류장에 시내버스는 15분마다 도착하고, 마을버스는 18분마다 도착한다고 한다. 그럼 오전 9시에 두 버스가 동시에 도착하였다고 했을 때, 다음에 두 버스가 동시에 도착할 시간을 구하시오.

먼저 시간이 지나면서 시간이 “늘어”나는 경우이므로 최소공배수를 활용한다. 그래서 15와 18의 최소공배수를 구해보면 3×5×6=90이 나온다. 그래서 9시 이후로 두 버스가 동시에 도착할 시간은, 9시에서 90분 후인 오전 10시 30분이다.(추가로 10시 30분 이후로, 또 동시에 도착할 시간은 10시 30분에서 90분 후인 12시이다)