지수분포의 확률 구하는 법

연속확률분포를 쉽게 이해하기 위해서는 그래프의 모양을 잘 파악해야 하는데, 지수분포의 그래프를 한 번 들여다보면, 그래프가 오른쪽으로 갈수록 점점 기운다는 것을 알 수 있다. 그런데 지수분포의 x축 좌표는 “시간”을 나타내므로, 지수분포는 시간이 지날수록 확률이 점점 작아지는 경우에 사용하는 분포라는 것을 알 수 있다.

사실 연속확률분포에서는 정규분포를 가장 많이 사용하기에, 지수분포의 활용도는 그렇게 높지가 않다. 하지만 가끔가다가 사용하는 경우도 있기에 알아두면 좋은데, 지수분포를 쉽게 이해하기 위해서 몇 가지 예를 들어보면 아래와 같다.

그리고 연속확률분포는 그래프의 면적으로 확률을 구하는데, 지수분포에서 그래프의 면적을 구하는 공식은 F(t)=e^-λt이다.(지수분포는 공식을 F(x) 대신 F(t)라고 나타내기도 한다) 그런데 e^-λt는 그래프에서 “이상일 확률”만 구하는 공식이라서, “이하일 확률”은 구할 수가 없다.

 

그래서 지수분포는 “이하일 확률”과 “이상일 확률”을 구하는 공식이 서로 다른데, 그래프의 특징을 알면 자연스럽게 이해가 되기에 부담가질 필요는 없다. 그래서 일단 확률의 총합은 100%이므로, 그래프의 총면적은 100%이다. 그런데 100%는 1이므로, 그래프의 총면적 1에서 이상일 확률 e^-λt를 빼주면, 이하일 확률을 구하는 공식은 1-e^-λt가 된다. 그러므로 지수분포는 확률을 구할 때, 구하는 상황이 “이하일 확률”인지 아니면 “이상일 확률”인지를 먼저 파악한 다음, 해당 상황에 맞는 공식을 사용해야 한다.

 

참고로 지수분포의 공식은 포아송분포의 공식을 응용해서 만들었다. 그래서 포아송분포의 대표적인 기호 λ(람다)를 그대로 사용하는데, 단지 지수분포에서는 λ를 역수 취하기 때문에 살짝 헷갈릴 수가 있다. 그래서 지수분포의 문제를 풀 때, 그냥 λ=1/문제에서 주어진 평균이라고 생각하면 편하다.