모평균의 가설검정 문제풀이(σ를 모르는 경우)

먼저 모평균의 가설검정은 크게 “σ를 아는 경우”와 “σ를 모르는 경우”로 나뉘는데, 이전 글에서 “σ를 모르는 경우”에는 기본적으로 t분포를 사용한다고 했었다. 그런데 n≥30이면 t분포는 정규분포와 값이 비슷해지기에, t분포 대신 정규분포를 사용해도 된다. 그리고 “σ를 모르는 경우”의 문제풀이는, 이전에 알아보았던 “σ를 아는 경우”의 문제풀이와 거의 비슷하기에 크게 어려울 건 없다.

 

 

1. 어느 시멘트 회사에서 생산하는 시멘트 한 포의 평균무게는 40kg이라고 한다. 하지만 일부 건설 현상에서는 시멘트 한 포의 무게가 40kg보다 작을 것이라는 불평이 쏟아지고 있다. 그래서 어느 주장이 더 타당한지를 파악하기 위해 해당 시멘트 8개를 표본으로 뽑아 조사하였더니, 평균무게는 39kg이 나왔고 표준편차는 5kg가 나왔다. 이때 어느 주장이 더 타당한지 유의수준 5%에서 검정하시오.

대립가설로 시멘트의 평균무게가 40kg보다 작을 것이라는 주장이 나왔으므로, 대립가설은 “작다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 계산해보면 -0.57이 나온다.

 

그리고 기각역을 구해보면, 일단 유의수준 α=0.05이고 자유도는 8-1=7이므로, 해당하는 값을 t분포표(표)에서 찾으면 1.895가 나온다. 그런데 왼쪽 좌표이므로 t분포가 좌우대칭이라는 특징을 활용해서 앞에 -를 붙이면, 기각역은 -1.895가 된다. 그럼 검정통계량이 “채택역”안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그래서 시멘트 한 포의 평균무게는 40kg이라고 할 수 있다.

 

 

 

 

2. 애완용으로 키우는 금붕어의 평균수명은 5년으로 알려져 있는데, 일부에서는 5년이 아니라는 의견이 나왔다. 그래서 금붕어 10마리를 표본으로 뽑았더니, 평균수명은 6년이 나오고 표준편차는 3년이 나왔다. 이때 어느 의견이 더 타당한지 유의수준 5%에서 검정하시오.

대립가설로 금붕어의 평균수명은 5년이 아니라는 의견이 나왔는데, 5년보다 긴지 아니면 짧은지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설은 “같지 않다”로 설정하고, 검정통계량을 구해보면 1.05가 나온다.

 

다음으로 유의수준 α=0.05인데, 양측검정이므로 α/2=0.025이고 자유도는 10-1=9이다. 그래서 t분포표에서 해당하는 값을 찾으면 2.262가 나오는데, 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±2.262가 된다. 그럼 검정통계량이 “채택역”안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그러므로 금붕어의 평균수명은 5년이라고 할 수 있다.

 

 

 

 

3. 어느 한 회사에서는 근로자들의 평균 근무시간이 8시간이라고 주장하고 있는데, 회사 노조에서는 8시간보다 길다고 주장한다. 그래서 어느 주장이 더 맞는지를 조사하기 위해서 근로자 50명의 평균 근무시간을 파악하였더니, 평균 근무시간은 8.3시간이 나왔고 표준편차는 1시간이 나왔다. 이때 평균 근무시간에 대해서 어느 주장이 더 타당한지 유의수준 10%에서 검정하시오.

대립가설로 평균 근무시간은 8시간보다 길다는 주장이 나왔으므로, 대립가설은 “크다”로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 2.12가 나온다.

 

이제 기각역을 구해야 하는데, 한 가지 문제는 n=50이 t분포표에 나와 있지 않다. 그래서 정규분포를 사용하는데, 유의수준 α=0.1이므로 기각역은 1.28이다.(Z값 구하는 법은 여기를 (참고)하면 된다) 그럼 검정통계량이 “기각역”안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그래서 근로자들의 평균 근무시간은 8시간보다 길다고 할 수 있다.

 

 

참고로 “t분포표”의 맨 밑에 있는 무한대(∞)일 때의 값을 살펴보면, 정규분포에서 자주 사용하는 Z값과 거의 비슷한 것을 알 수 있다. 그래서 표본의 수가 많으면, t분포 대신 정규분포를 사용해도 된다.