두 모분산 차이의 신뢰구간 문제풀이

이전 글에서 두 모분산의 차이를 비교할 때는 “나눗셈”을 사용한다고 했었는데, 신뢰구간을 구했을 때 추정값이 1에 가까울수록 두 분산의 차이는 크지가 않고, 반대로 추정값이 1에서 멀어질수록 두 분산의 차이는 크다고 해석할 수 있다. 그리고 공식을 살펴보면 양쪽의 자유도가 서로 다르므로, 이 점을 조심해야 한다.

 

 

1. 어떤 특정실험을 하는 방법이 2가지가 있는데, 실험1과 실험2의 분산이 서로 얼마나 차이 나는지를 비교하려고 한다. 그래서 실험마다 표본 9개와 6개를 뽑았더니, 분산은 각각 14와 12가 나왔다. 이때 두 실험의 모분산 차이에 대한 90%의 신뢰구간을 구하시오.

먼저 90%의 신뢰구간이므로 α/2=0.05이고 n1-1=8이며 n2-1=5이다. 그럼 해당하는 값을 F분포표(표)에서 찾으면, 왼쪽 신뢰구간에 들어가는 F값은 4.82가 나오고, 오른쪽 신뢰구간에 들어가는 F값은 3.69가 나온다.(자유도가 서로 바뀐다) 그래서 90%의 신뢰구간을 구해보면, 두 실험의 모분산 차이는 0.242에서 4.305 사이라고 추정할 수 있다.

 

 

 

 

2. 감기약의 지속시간을 테스트하기 위해서 알약1과 알약2의 분산이 서로 얼마나 차이 나는지를 비교하려고 한다. 그래서 각각 표본 11개와 8개를 뽑았더니, 분산은 11과 15가 나왔다. 이때 두 알약의 모분산 차이에 대한 95%의 신뢰구간을 구하시오.

일단 n1-1=10이고 n2-1=7이다. 그리고 95%의 신뢰구간이므로 α/2=0.025인데, 표에서 해당하는 값을 찾으면, F값은 4.76과 3.95가 나온다. 그래서 두 알약의 모분산 차이는 0.1541에서 2.8967 사이라고 추정할 수 있다.

 

참고로 예전에 다루었던 “F분포표 보는 법”에서, F분포는 보통 분산이 큰 집단을 “분자”에 놓고, 분산이 작은 집단을 “분모”에 놓는다고 했었다. 그리고 이렇게 하는 이유는 F분포 그래프의 오른쪽 면적을 사용하기 위해서이다.(F분포는 왼쪽 면적보다는, 오른쪽 면적이 사용하기 훨씬 편하다) 그런데 신뢰구간을 구할 때는 어차피 양쪽 면적을 모두 구해야 하므로, 굳이 오른쪽 면적에 집착할 이유가 없고, 무조건 분산이 더 큰 집단을 분자에 놓을 필요도 없다. 그래서 그냥 문제에 나오는 순서대로 첫 번째 집단을 분자에 놓고, 두 번째 집단을 분모에 놓아도 되는데, 만약 문제를 풀 때 위의 2번 문제처럼 분산이 작은 집단이 먼저 나온다면, 그냥 분산이 작은 집단을 분자에 놓고 풀어도 된다.